Hallo!
Ich hatte mal in Forster wegen Untermannigfaltigkeiten nachgesehen: Leider ist es jetzt unklarer als vorher, denn er definiert in dem Lehrbuch die Untermannigfaltigkeit mithilfe einer Immersion, während wir es mit einer Submersion tun.
Forster:
Text erkannt:
Definition (Untermannigfaltigkeit). Eine Teilmenge \( M \subset \mathbb{R}^{n} \) heißt \( k \)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von \( \mathbb{R}^{n} \), wenn es zu jedem Punkt \( a \in M \) eine offene Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) gibt, sowie eine offene Teilmenge \( T \subset \mathbb{R}^{k} \) und eine Immersion
\( \varphi: T \longrightarrow \mathbb{R}^{n}, \)
so dass \( \varphi \) die Menge \( T \) homöomorph auf \( \varphi(T)=M \cap U \) abbildet, siehe Bild 9.1.
Unser Skript:
Text erkannt:
Definition 2.15.10 Eine (nicht leere) Teilmenge \( M \subset \mathbb{R}^{n} \) heißt Untermannigfaltigkeit der Dimension \( k \in\{0, \ldots, n\} \) und der Klasse \( C^{r}(r \geq 1) \), wenn es zu jedem Punkt \( p \in M \) eine offene Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) gibt und \( r \)-mal stetig differenzierbare Funktionen \( f_{1}, \ldots, f_{n-k}: U \rightarrow \mathbb{R} \), sodass \( f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n-k}\right)^{\top}: U \rightarrow \mathbb{R}^{n-k} \) an der Stelle \( p \) submersiv ist und \( M \cap U=f^{-1}(0) \).
Ich habe bis jetzt leider noch nicht wirklich etwas gefunden, s.d. ich sagen könnte, das die gleiche Definition ist bzw. auf das Gleiche hinausläuft. Könnt ihr mir da helfen?
Danke im Voraus!
