Funktionenfolgen und Konvergenz

Question

Ist folgende Aussage wahr oder falsch?

Sei (f(n)) eine Funktionenfolge von stetigen Funktionen f(n) : [a,b] —> R, welche gleichmässig gegen eine Funktion f: [a,b] —> R konvergiert. Dann konvergiert auch die Funktionenfolge g(n) := f‘(n) gegen f gleichmässig.

Answer 1

Hallo.

Die Aussage ist falsch. Man kann z.B. die

Funktionenfolge f(n) : [0,1] —> R,

f(n)(x) := sin(nx) / n, wählen. Die konvergiert gleichmässig gegen die Nullfunktion, denn es gilt: lim sup{|sin(nx)|/n : x ∈ [0,1]} = lim 1/n = 0.

Jedoch ist die Ableitung g(n)(x) = cos(nx). Die konvergiert nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion, denn: lim sup{|cos(nx)| : x ∈ [0,1]} = lim 1 = 1 ≠ 0.

Comments

Danke dir! :)

Answer 2

Dann konvergiert auch die Funktionenfolge g(n) := f‘(n) gegen f gleichmässig.

Ich glaube, hier ist \(f'\) gemeint. Wieso sollte die Folge der Ableitungen gegen die Funktion \(f\) selbst gleichmäßig konvergieren? ;)

Ein weiteres Gegenbeispiel wäre eine Grenzfunktion, die nicht überall differenzierbar ist:

\(f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}\to \sqrt{x^2}=|x|\) für \(n\to\infty\).

Da die Betragsfunktion in 0 nicht differenzierbar ist, kann dort auch schlecht eine Funktionenfolge konvergieren.

Comments

Dankeschön :)