Beweis bzgl. Nullfolgen und Konvergenz

Question

Moin

Wie kann man zeigen, das die Folge (q^n) für 0 ≤ q < 1 eine Nullfolge ist? Ich würde much auf ein paar Lösungsansätze freuen.

Comments

Probier mal ein paar q<1 aus, dann siehst du das schnell. q am besten nahe bei 1, denn bei etwa 1/2 ist es zu leicht.

lul

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Ich glaube der FS fragt nach einem allgemeinen Beweis, der für alle q < 1 gilt und nicht nach paar Beispielen.

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Hier ein elementarer Weg:

Für \(q=0\) gibt es nichts zu zeigen.

Für \(0<q<1\) gibt es die positive Zahl \(p =1-\frac 1q >0\) mit \(q= \frac 1{1+p}\).

Damit gilt:

\(0< q^n = \frac 1{(1+p)^n} \stackrel{binom.\: Formel}{<}\frac 1{np}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\)

Answer 1

Hallo.

Die Folge ist beschränkt. Es gilt 0 ≤ q^n < 1. Dann ist die Folge auch monoton fallend (kannst du leicht zeigen, mit Induktion z.B.). Daraus folgt, das lim q^n schon mal existiert. Den Limes kannst du dann ausrechnen, in dem du z.B. q^n = exp(ln(q)n) schreibst und dann damit weitermachst. In dem Fall ist es nämlich praktischer, da du beim Grenzwert die Stetigkeit von exp nutzen kannst, so wie etwas über den Faktor ln(q) aussagen kannst. (Du weisst ja, das q in (0,1] liegt)

Comments

Nur so als Tipp:
Du kommst auch gut ohne Exponentialfunktion aus.

Du weißt ja schon, dass \(\displaystyle 0\leq L =\lim_{n\to\infty}q^n\) existiert.

Nun hast du

\(\displaystyle qL = q\lim_{n\to\infty}q^n =\lim_{n\to\infty}q^{n+1} = L \Rightarrow L(1-q)=0 \Rightarrow L=0\)

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Das ist falsch

Warum soll den Lim q^n = Lim q^(n+1) gelten???!!!

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@transcelocation Stimmt, das ist auch sinnvoll. Danke ! :)

@maxi406 Aha und warum sollte das bitte falsch sein??? Warscheinlich wieder einfach ohne dein Hirn zunutzen etwas hingeschrieben, oder?

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@maxi406
\( \left(q^{n+1}\right)_{n\in \mathbb N} \) ist eine Teilfolge von \( \left(q^{n}\right)_{n\in \mathbb N} \).

Grundwissen über Folgen:

Teilfolgen konvergenter Folgen sind ebenfalls konvergent und haben denselben Grenzwert.

Answer 2

Zeige einfach:

1) die Folge ist fallend

2) alle Folgenglieder sind positiv

3) Für jedes ε>0 gibt es eine Zahl n mit q^n<ε