Abbildungsmatrix mit Lösung

Question

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Aufgabe 4 (6 Punkte)
Gegeben seien die Basen $A: a_{1}=\binom{1}{1}, a_{2}=\binom{1}{-3}$ für $\mathbb{R}^{2}$ und $B: b_{1}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ für $\mathbb{R}^{3}$.
Weiter sei $\varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ die lineare Abbildung mit
$\varphi\left(b_{1}\right)=a_{1}, \quad \varphi\left(b_{2}\right)=a_{2}, \quad \varphi\left(b_{3}\right)=2 a_{1}-a_{2} .$

Text erkannt:

(b) Die Spalten der Matrix ${ }_{A} \varphi_{B}$ sind gegeben durch die $A$-Koordinaten ${ }_{A} \varphi\left(b_{1}\right),{ }_{A} \varphi\left(b_{2}\right)$ und ${ }_{A} \varphi\left(b_{3}\right)$ der Bildvektoren $\varphi\left(b_{1}\right), \varphi\left(b_{2}\right)$ und $\varphi\left(b_{3}\right)$. Also gilt

bei dieser Aufgabe ist phi von b nach a gesucht und die Lösung gegeben. Allerdings verstehe ich nicht wieso das die Matrix von b nach a ist ( weil wir hier die Standardbasen betrachten). Ich hätte tatsächlich für die Spalten jeweils nur a1(1/1), a2 etc. Eingetragen, aber das ist dann falsch.

Könnte mir das bitte jemand erklären?

LG

Answer 1

Aloha :)

Bei solchen Problemen, wo mehrere Basen im Spiel sind, schreibe ich mir gerne die jeweilige Basis als Index an die Vektoren ran, damit ich weiß, auf welche Basis sich die Koordinaten des Vektors beziehen. Das macht die Darstellung übersichtlicher, finde ich...

Von der lineare Abbildung $\varphi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ sind uns folgende Funktionswerte bekannt:$$\phi(\vec b_1)=\vec a_1\quad;\quad\phi(\vec b_2)=\vec a_2\quad;\quad\phi(\vec b_3)=2\vec a_1-\vec a_2$$Die Eingangsvektoren sind bezüglich der Basis $B$ angegeben, die Ausgangsvektoren sind bezüglich der Basis $A$ angegeben. Wir können die Abbildung daher leicht in Form einer Abbildungs-Matrix ${_A}\phi_B$ darstellen, die Eingangsvektoren zur Basis $B$ erwartet und Ausgangsvektoren zur Basis $A$ liefert.

Dazu schreiben wir die bekannten Funktionswerte in Matrixform:$${_A}\phi_B\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\binom{1}{0}_A\quad;\quad {_A}\phi_B\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B=\binom{0}{1}_A\quad;\quad{_A}\phi_B\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\binom{2}{-1}_A$$

Diese 3 einzelnen Matrix-Gleichungen fassen wir in einer Matrix-Gleichung zusammen:$${_A}\varphi_B\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$

Das führt uns zu der Abbildungsmatrix:$${_A}\varphi_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Noch ist mir etwas unklar, weshalb wir die Standardbasis von b und nicht die gegeben Spalten von b wählen.

LG

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Die Komponenten der Basis-Vektoren $\vec a_1,\vec a_2$ für die Basis $A$ sind bezüglich der kanonischen Standardbasis $S2$ des $\mathbb R^2$ angegben, denn bis dahin ist ja keine andere Basis des $\mathbb R^2$ bekannt.

Ebenso sind die Komponenten der Basis-Vektoren $\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3$ für die Basis $B$ bezüglch der kanonischen Standardbasis $S3$ des $\mathbb R^3$ angegeben.

Für die Angabe der Abbildungsmatrix ${_A}\varphi_B$ werden die kanonischen Standardbasen $S2$ oder $S3$ aber überhaupt nicht benötigt.

In anderen Aufgabenteilen wirst du vermutlich die Basen umrechnen müssen. Dann kommt die Komponentendarstellung der Basisvektoren von $A$ und $B$ ins Spiel. Du weißt, wie die Basisvektoren von $A$ in $S2$ aussehen:$$\binom{1}{0}_A=\binom{1}{1}_{S2}\quad;\quad\binom{0}{1}_A=\binom{1}{-3}_{S2}$$Damit kennst du die Transformations-Matrix von $A$ nach $S2$:$${_{S2}}\mathbf{id}_A=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & -3\end{array}\right)$$

Die Transformationsmatrix von $B$ nach $S3$ erhältst du analog.

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Das war hilfreich. Dankeschön!