Beweis, dass Funktion das globale Maximum auf einer Untermannigfaltigkeit erreicht

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch
\( f(x, y):=\left(2 x^{2}+y^{2}-2\right)\left(2 x^{2}+y^{2}\right) \)
(a) Finden Sie alle Maxima und Minima von \( f \) und geben Sie an, ob diese lokal oder global sind.
(b) Zeigen Sie, dass das globale Minimum von \( f \) auf einer 1-dimensionalen Untermannigfaltigkeit erreicht wird.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht genau, was soll ich jetzt zeigen, was eine Untermannigfaltigkeit ist?

Kann jemand damit etwas anfangen?

Falls es relevant ist, die Nullstellen liegen bei: (0,0), (x,\(-\sqrt{2x^2-1})\) und \((x,\sqrt{2x^2-1})\).

Danke im Voraus!

Comments

Ich mache es nochmal

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Im dem Teil, um den es in der Frage eigentlich geht, fasst du dich kurz. Den irrelevanten Teil a) führst du dahingegen ausführlich aus... Danach wurde aber gar nicht gefragt.

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Das stimmt, da ich bei b) gar keine Idee/keinen Plan habe, was ich überhaupt zeigen soll...

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Die Aufgabe b) ist tatsächlich bischen schwammig formuliert. Ich habe aber vor paar Stunden verstanden, was damit gemeint werden soll. Siehe unten mein Beitrag, den ich gerade nochmal kurz korrigiert habe, da ich vor paar Stunden noch einige Tippfehler darin hatte :)

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Das ist in jedem Falle eine sehr spezielle Funktion ;)

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@jstntllr
Ich hab mal noch etwas zu dem Thema 1-Dimensionalität in meiner Antwort ergänzt.

Wenn das nicht passt, bräuchte ich die von dir benutzte Definition einer Untermannigfaltigkeit.

Answer 1

Hallo.

(Habe kurz paar Tippfehler korrigiert :) )

Ich habe mir das ganze mal nochmal unter die Lupe genommen. Hier das ganze, in drei Schritten.

Gegeben ist die Funktion f : |R^2 —> |R. Wenn du den Gradienten von f bestimmst, wirst du rasch fesstellen, das alle Punkte

(x,y)^T ∈ {(0,0)^T} U E, kritische Punkte von f sind, wobei E := {(x,y)^T ∈ |R^2 :2x^2 + y^2 =1} die Elipse im |R^2 ist.

1) Existenz von Extrema auf E.

Nun betrachten wir erstmal die Ellipse E. Wir wollen zeigen, das die Ellipse E kompakt im |R^2 ist.

Beweis dazu:

Dafür definiere die Funktion G : |R^2 —> |R, G(x,y) := 2x^2 + y^2 -1. Die Funktion G ist stetig und hierbei ist also gerade E = G^(-1)({0}). Da die Menge {0} abgeschlossen ist und G stetig ist, ist auch das Urbild E abgeschlossen. Dann sei ||•|| := ||•||_2 die 2-Norm. Dann gilt für alle (x,y)^T ∈ E : ||(x,y)|| = sqrt(x^2 + y^2) ≤ sqrt(2x^2 + y^2) = sqrt(1) = 1. Also ist E auch beschränkt. Da die Elipse E alsoabgeschlossen und beschränkt ist, folgern wir das E im |R^2 kompakt ist.

Folgerung: Da f stetig und E kompakt im |R^2  ist, muss also f auf E nach dem Satz von Waierstraß (Satz vom Maximum & Minimum) ein absolutes Maximum auf E, sowohl ein ein absolutes Minimum auf E haben. Damit haben wir die Existenz von absoluten Maxima und Minima von f auf E bewiesen.

2) Interpretation von Aufgabe b)

Nach 1), gibt es somit mindestens einen Parameter t ∈ (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) ⊂ |R, sodass der dazugehöre Punkt (t, +/- sqrt(1-2t^2))^T ∈ E ein absolutes Minimum von f auf E ist. Die Ellipse E ist selber eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des |R^2. Betrachte dafür nochmal die Funktion G von oben. Es gilt ja E = G^(-1)({0}}. Bemerke, der Gradient von G ist der Vektor (4x, 2y)^T der nur für (x,y) = (0,0)^T verschwinden kann. Also ist (0,0)^T der einzige kritische Punkt von G, jedoch gilt aber (0,0)^T ∈ |R^2 \ E. Also ist der Gradient für alle (x,y)^T ∈ E von dem Nullpunkt verschieden. Demnach ist jedes (x,y)^T ∈ E ein regulärer Punkt auf E und die 0 ein regulärer Wert von G (Für jedes (x,y)^T ∈ E hat die Jacobimatrix von G, was einfach die Transponierte des obigen Gradienten ist, den vollen Rang), was die obige Aussage bestätigt.

Insgesamt: Du hast deine eindimensionale Untermannigfaltigkeit, was in dem Falle die Ellipse E ist und weisst auch, das auf E dein absolutes Minimum angenommen wird.

3) Letzte Bemerkung, was auch die Dimensionalität widerspiegelt.

Bemerke erstmal, das der Rang der Jacobimatrix von G, für alle Punkte in E, den Wert 1 hat und das deswegen die Gleichung G(x,y) = 0 für die regulären Punkte (x,y)^T mit y ≠ 0, nach dem Satz der impliziten Funktionen nach der Variablen y auflösbar ist. D.h. es gibt für die regulären Punkte (x,y)^T mit y ≠ 0 in E, eine stetig-differenzierbare Funktion y die auf dem offenen Intervall (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) definiert ist und dem Ganzen genügt.

Jetzt sind wir fertig :)

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Das hat mir jetzt tatsächlich ziemlich weiter geholfen, da ich jetzt endlich die Äquivalenz zwischen der Unterannigfaltigkeit-Definition und der Existenz einer solchen submersiven Funktion verstanden habe.

Vielen Dank!!

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Gerne. Das freut mich, das ich helfen konnte :)

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Ich hatte einen Punkt noch vergessen dazu zufügen. S.o.

Answer 2

Hier ein kleiner Tipp.

Setze \(p = 2x^2+ y^2 \geq 0\)

Nun betrachte die quadratische Funktion \(g(p)=(p-2)p\) für \(p \geq 0\).

Diese quadratische Funktion nimmt ihr globales Minimum bei \(p=1\) an.

Also nimmt \(f\) ihr globales Minimum für \(2x^2+y^2 = 1\) an.

Ergänzung zur Frage nach der 1-Dimensionalität:

Wir setzen

\(g(x,y) = 2x^2+y^2-1\) und \(M = \left\{ (x,y) \,|\, g(x,y) =0\right\}\)

\(M\) ist offenbar die Teilmenge von \(\mathbb R^2\), auf der \(f\) das globale Minimum annimmt.

\(M\) ist eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit des \(\mathbb R^2\), da

\(\operatorname{Rang}\nabla g = \begin{pmatrix} 4x & 2y \end{pmatrix} = 1\) für alle \((x,y)\in M\) gilt.

Denn das bedeutet, dass es zu jedem Punkt \((x,y)\in M\) eine Umgebung des \(\mathbb R^2\) gibt, in der \(M\) lokal in beide Richtungen stetig differenzierbar auf ein offenes Intervall von \(\mathbb R\) abgebildet werden kann.

Comments

Zwei Dumme, ein Gedanke :p

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Danke! Aber das hatte ich auch schon ausgerechnet, hatte nur die Info über die Art des Punktes nicht dazu geschrieben...

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@trancelocation Du hast im Prinzip bei deiner Ergänzung meine Antwort einfach wiederholt.

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@Txman
Nein. Ist es nicht.

Und die entscheidende Bedingung, dass zu jedem Punkt der Ellipse diese lokal diffeomorph zu einem offenen Intervall von \(\mathbb R\) ist, hast du auch nicht explizit genannt. Genau diese lokale 1-dimensionale Parametrisierung macht die Ellipse zu einer 1-dimensionalen Untermannigfaltigkeit.

Dein Gradient von \(G\) ist übrigens auch teilweise falsch.

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Beim Gradienten habe ich mich suptil vertan. Ist jetzt korrigiert. Ändert aber nichts an der Tatsache, das es für alle (x,y) in der Elipse E nicht verschwinden kann.

Ja das mit dem offenen Intervall in der die Parameter liegen, habe ich in der Tat nicht explizit genannt.

Die entscheidende Bedingung ist hier, das jeder Punkt in E regulär ist, was dem Kriterium der Untermannigfaltigkeiten genügt. Die 1-Dimensionalität folgt daraus, das der Rang der Jacobimatrix von G der Dimension eines eindimensionalen Raumes im |R^2 entspricht.

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@Txman

Die entscheidende Bedingung ist hier, das jeder Punkt in E regulär ist, was dem Kriterium der Untermannigfaltigkeiten genügt. Die 1-Dimensionalität folgt daraus, das der Rang der Jacobimatrix von G der Dimension eines eindimensionalen Raumes im |R2 entspricht.

Jetzt machen wir Txman-Mathe:

Sei \(G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 \Rightarrow \operatorname{Rang}\nabla G = 1\) auf \(M= G^{-1}(0)\)

Würdest du jetzt immer noch sagen, dass \(M\) dann 1-dimensional ist?

Die Frage ist nun, hast du nur "ungenau formuliert", oder hast du selbst eine Fehlvorstellung davon, wie dieser Rang mit der Dimension der Mannigfaltigkeit zusammenhängt?

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Die Aussage über dem Rang allein folgert nicht die Eindimensionalität der Elipse. Jedoch meinte ich das auch nicht! Ich habe gesagt, das es für die Aussage, die bei mir fehlte jedoch das entscheidenste Kriterium ist. Denn dies charakterisiert uns die Menge E.

Kurz vorab: Der letzte Satz bei mir war tatsächlich ungenau und da fehlte die Bedeutung dazu.

Die Folgerung beruht dann auf den Satz der impliziten Funktionen. Die Gleichung G(x,y) = 0 ist nach dieser in der Nähe von jedem beliebigen regulären Punkt (x,y) in E (hier trifft die ,,entscheidende’‘ Aussage ein) nach der Variablen y auflösbar. Es gibt also eine stetig-differenzierbare Funktion y die auf dem offenen Intervall (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) definiert ist und dies erfüllt.

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@Txman

Die Folgerung beruht dann auf den Satz der impliziten Funktionen. Die Gleichung G(x,y) = 0 ist nach dieser in der Nähe von jedem beliebigen regulären Punkt (x,y) in E (hier trifft die ,,entscheidende’‘ Aussage ein) nach der Variablen y auflösbar.

Auch wieder falsch:

Lös doch mal \(2x^2+y^2-1=0\) im regulären Punkt \((x_0,y_0) = \left( \frac 1{\sqrt 2},0\right) \) nach \(y\) auf. Hier musst du nach \(x\) auflösen, was man auch leicht an der Ellipse im Koordinatensystem erkennen kann.

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Stimmt, ich habe das vergessen zu erwähnen.

Jeder Punkt in der Elipse ist regulär.

Für x,y ≠ 0 ist die Gleichung G(x,y) = 0 für jeden Punkt (x,y) in E nach y auflösbar. Das folgt nach dem Satz der impliziten Funktionen, da für x,y ≠ 0 die partielle Ableitung der Funktion G nach y, also 2y ≠ 0 und damit invertierbar ist.

Für die zwei Punkte auf der x-Achse ist y(x) = 0 bzw. y = 0. Also folgt das was ich oben sagte.

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Wichtig ist noch zu erwähnen, das y in dem offenen Intervall (-1/sqrt(2),…) definiert ist, wo x nicht deine Werte annehmen kann.

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Ignoriere die beiden davorigen Antworten.

Du hast Recht, ich habe da eine wichtige Sache vergessen zu erwähnen. Oben sollte y ≠ 0 stehen. Das war ein Fehler von mir.

Mein Argument sollte eigentlich sein:

Für y ≠ 0 ist die Gleichung G(x,y) = 0 in der Nähe von jedem regulären Punkt (x,y) in E nach y definiert in (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) nach dem Satz der impliziten Funktionen auflösbar. Also kann die Gleichung G(x,y) = 0 in der Nähe von jedem Punkt (x,y) in E mit y ≠ 0 mit der stetig differenzierbaren Funktion y : (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) —> |R beschrieben werden, wo vorallem x = +/- 1/sqrt(2) auch nicht für y definiert ist. Da ja auch jeder Punkt (x,y) in E zugleich regulär ist, folgern wir insgesamt:

Die Ellipse E ist als Lösungsmenge der Gleichung G(x,y) = 0 eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit im |R^2. (Die zwei isolierten Punkte auf der x-Achse mit y = 0 ändern an der Tatsache nichts)

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@Txman

Du kannst es dir etwas einfacher machen.

Wir wissen ja, dass der Gradient von \(G\) auf \(E\) überall den Rang 1 hat.

Das bedeutet (Satz über implizite Funktionen), dass man in jedem Punkt von \(E\) die Gleichung \(G(x,y)=0\) lokal nach mindestens einer der beiden Variablen auflösen kann.
Da jeweils immer eine Variable die Unabhängige ist, hast du die Dimension 1.

Noch eine kleine Ergänzung:
Wenn du konkret im Sinne differenzierbarer Mannigfaltigkeiten einen Atlas von Karten für \(E\) angeben möchtest, hast du zum Beispiel:

\( (x,\sqrt{1-2x^2} )\stackrel{\Phi_o(x)}{\mapsto} x\) für \(x \in \left(-\frac 1{\sqrt 2},\frac 1{\sqrt 2}\right)\) - obere (offene) Hälfte

\( (x,-\sqrt{1-2x^2} )\stackrel{\Phi_u(x)}{\mapsto} x\) für \(x \in \left(-\frac 1{\sqrt 2},\frac 1{\sqrt 2}\right) \) - untere (offene) Hälfte

\(\left( \frac 1{\sqrt 2}\sqrt{1-y^2} ,y\right)\stackrel{\Phi_r(x)}{\mapsto} y\) für \(y\in (-1,1)\) - rechte (offene) Hälfte

\(\left( -\frac 1{\sqrt 2}\sqrt{1-y^2} ,y\right)\stackrel{\Phi_l(x)}{\mapsto} y\) für \(y\in (-1,1)\) - linke (offene) Hälfte

Answer 3

Das ist zwar wahrscheinlich nicht die "Intended Solution", aber gehört meiner Meinung nach trotzdem erwähnt, da sie sich hier wunderschön anbietet.

Die Funktion \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) gegeben durch \(g(x)=(x-1)(x+1)\) nimmt ihr globales Minimum von \(g(x)=-1\) bei \(x=0\) an.

Da \(f(x,y)=((2x^2+y^2-1)-1)((2x^2+y^2-1)+1)\), nimmt \(f\) ihr globales Minimum von \(f(x,y)=-1\) auf der eindimensionalen Mannigfaltigkeit gegeben durch die Gleichung \(2x^2+y^2-1=0\) an, falls diese mindestens einen Punkt enthält. Da der Punkt \((0,1)\) enthalten ist, ist die Menge nichtleer und damit genau die Menge der globalen Minima.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Kannst du das weiter erläutern?

Das klingt logisch, nur ich habe das definitorische an der Untermannigfaltigkeit noch nicht ganz verstanden, wie ist dann deine Argumentation?

Insbesondere weiß ich nicht, wie ich bei solcher Art Aufgaben argumentieren kann?

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Also dass die von mir gegebene Menge die Menge der globalen Extrema ist, sollte klar sein oder?

Ist deine Frage: Wieso ist das eine eindimensionale Mannigfaltigkeit?

Falls das so ist: Deine Menge ist ein Level-Set (Urbild eines Punktes) der Funktion \(h(x,y)=2x^2+y^2\) unter einem regulären Wert (\(1\)). Damit ist sie automatisch eine Mannigfaltigkeit mit Codimension \(1\).

Das kannst du mit dem Implicit Function Theorem argumentieren, expliziter nennt man das das Preimage Theorem.

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Deine Lösung ist zwar kreativ, aber warscheinlich nicht sehr hilfreich, da es so eine Lösung ist, wo der FS selbst nicht deauf kommen würde. Übrigens gilt soetwas ja allgemein auch nicht. Du hattest jetzt Glück mit der Definition der Funktion. Also wie kreativ die Lösung auch ist, ist sie meiner Meinung nach nicht sehr hilfreich, da der FS ja schon eher einen allgemeinen Ansatz haben sollte und auch etwas, wo er es selber schafft.

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Ja finde ich auch. Kreativ, aber nicht so nützlich. Nicht böse gemeint :)

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Deine Lösung ist zwar kreativ, aber warscheinlich nicht sehr hilfreich, da es so eine Lösung ist, wo der FS selbst nicht deauf kommen würde.

Sind Lösungen, auf die der FS auch selbst kommt, hilfreicher?

da der FS ja schon eher einen allgemeinen Ansatz haben sollte

So etwas wie einen "Allgemeinen Ansatz, wie man Extrema genau untersucht" gibt es halt nicht. Jedes Problem ist sein eigenes Ding, und viele verschiedene Lösungsansätze gesehen zu haben, ist der Schlüssel dafür, es selbst irgendwann zu können.

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Jedes Problem ist sein eigenes Ding, und viele verschiedene Lösungsansätze gesehen zu haben, ist der Schlüssel dafür, es selbst irgendwann zu können.

Aber auch, Dinge einmal selbst auszuprobieren. Aber der Großteil gibt ja bereits nach 5 Minuten auf.

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Vielen Dank für die Antworten!

Ich denke, die Argumentation von @joners kann ich soweit nachvollziehen, da es ja einerseits den Satz über reguläre Werte gibt und andererseits, ist die Argumentation ja ähnlich, wie die von @Txman, mit der submersiven Funktion G(x,y)=x^2+y^2-1.

Vielen Dank für deine Hilfe!