In welchem Verhältnis teilt ein Eckpunkt von S7 die Seite von S8?

Question

Einem regelmäßigen Sechseck S₈ mit der Seitenlänge 8 wird ein regelmäßiges Sechseck S₇ mit der Seitenlänge 7 einbeschrieben, dessen Eckpunkte auf den Seiten von S₈ liegen. In welchem Verhältnis teilt ein Eckpunkt von S₇ die Seite von S₈?

Comments

Ich habe die Aufgabe spaßhalber bei 2 KIs eingegeben: Beide lieferten falsche Ergebnisse. Erst auf Nachfrage mit dem richtigen Ergebnis kamen die korrekten raus.

Fehlerbegründung der einen:

Mein Fehler resultierte aus mehreren problematischen Aspekten meines Vorgehens:

Überkomplizierung: Ich wählte einen unnötig komplexen Lösungsansatz mit trigonometrischen Funktionen und Quadratwurzeln, anstatt die einfache Geometrie regelmäßiger Sechsecke zu nutzen.
Mangelnde Überprüfung: Ich führte keine Plausibilitätsprüfung meines Ergebnisses durch. Das komplizierte Verhältnis 109:147 hätte mich stutzig machen sollen, da in geometrischen Problemen oft einfachere Verhältnisse auftreten.
Fehlende Intuition: Ich verließ mich zu sehr auf Berechnungen, ohne das geometrische "Bild" im Kopf zu behalten. Eine visuelle Vorstellung hätte mir helfen können, das unplausible Ergebnis zu erkennen.
Voreiliger Schluss: Ich präsentierte mein Ergebnis als sicher, ohne kritisch darüber nachzudenken oder alternative Lösungswege in Betracht zu ziehen.
Unzureichende Fehlersuche: Bei komplexen Berechnungen hätte ich jeden Schritt sorgfältiger überprüfen sollen, um mögliche Rechenfehler zu finden.

Diese Erfahrung unterstreicht die Wichtigkeit von Einfachheit, Plausibilitätschecks und kritischem Denken bei der Problemlösung. Es zeigt auch, dass selbst KI-Systeme wie ich Fehler machen können und dass menschliches Feedback und Korrektur wertvoll sind.

Die andere antwortete:

Mein Fehler entstand aus einer falschen Annahme: Ich nahm fälschlicherweise an, dass das Verhältnis der Seitenlängen des inneren Sechsecks S7S7 zu dem äußeren Sechseck S8S8 direkt das Teilungsverhältnis der Seiten bestimmen würde. Dabei habe ich übersehen, dass das eigentliche Problem nicht nur auf die Seitenlängen der Sechsecke, sondern auf die geometrische Anordnung und die Symmetrie der Eckpunkte und Seiten der Sechsecke abzielt.

Das Teilungsverhältnis, in dem die Eckpunkte von S7S7 die Seiten von S8S8 teilen, basiert auf einer spezifischen Konstruktion, bei der die Eckpunkte des inneren Sechsecks nicht einfach entlang der Seitenlänge verteilt werden. Diese Geometrie ist komplexer und erfordert eine genauere Analyse oder Konstruktion. Daher ergibt sich das richtige Verhältnis von 3:5 aus der speziellen Symmetrie und der Lage der Eckpunkte, was ich in meiner ersten Herleitung nicht berücksichtigt hatte.

Es war also ein typisches Missverständnis der geometrischen Konstruktion, bei der ich die direkte Beziehung der Seitenlängen überbewertet und die Symmetrie außer Acht gelassen habe.

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Ein nettes Experiment mit KI, aus dem man sogar einen Gewinn ziehen kann.

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Das freut mich zu hören. Ich traue diesem Tool nicht wirklich, auch wenn es wohl immer besser werden wird. Schönen Restsonntag!

Eines ist es immer: sehr freundlich und frei von aller Polemik.

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Dir auch einen schönen Restsonntag. Man muss halt wissen, was eine KI gut kann und was nicht und vor allem sollte man sich eben nicht nur auf KI verlassen.

Answer 1

G=(4|\( \sqrt{8^2-(\frac{8}{2})^2} \) )

\(\overline{HP}^2=\overline{HG}^2-\overline{GP}^2\)

\(\overline{HP}^2=7^2-(8^2-(\frac{8}{2})^2\))=1

\(\overline{AH}=3\)

die Strecke \(\overline{AB}\) wird im Verhältnis 3 zu 5 geteilt.

Das geht sicherlich mathematisch auch eleganter.

Comments

Die zweite Komponente von G lässt sich eleganter angeben. Sonst finde ich die Lösungsstrategie recht gelungen.

Answer 2

Sei KD =CJ =x.

Der Inhalt des Dreiecks KJD ist dann 0,5·sin 120° · x · (8-x), und alle 6 Dreiecke dieser Form haben zusammen den Inhalt 1,5\( \sqrt{3} \)· x · (8-x).

Das große Sechseck hat einen Inhalt von 6·(0,5·sin 60° · 8 · 8)=  96\( \sqrt{3} \), das innere Sechseck nur 49/64 davon. Die Differenz der beiden Sechseckflächen ist

\( \frac{15}{64} \) ·96\( \sqrt{3}\) = \( \frac{45}{2} \) ·\( \sqrt{3}\)

und entspricht der oben berechneten Summe der 6 kleinen Dreiecksflächen.

Es gilt also 1,5\( \sqrt{3} \)· x · (8-x)=\( \frac{45}{2} \) ·\( \sqrt{3}\).

Daraus folgt x · (8-x)=15 mit x=3 und 8-x=5 (oder x=5  und 8-x=3).

Das Teilungsverhältnis 3:5 aus der anderen Antwort wird bestätigt.

Comments

Eine sehr ansprechende Lösungsidee (etwas aufwändig).

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So "überkompliziert" ist der unnötig komplexe Lösungsansatz nicht :

Im blauen Dreieck gilt der Kosinus-Satz 7^2 = x^2 + (8-x)^2 - 2*x*(8-x)*(-1/2)
mit den Lösungen x₁=3 und x₂=5 .

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Das ist vermutlich die eleganteste Lösung.

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Das ist vermutlich die eleganteste Lösung.

Ihr solltet herausfinden, warum sie falsch ist.

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Korrektur : Ich hatte einen Fehler (fehlender vorheriger Nachweis der Existenz) vermutet, wo keiner war bzw. die Rechnung die Nicht-Existenz (z.B. für S_6,9 statt S₇) im Nachhinein beweist.

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Am elegantesten finde ich diese Lösung:

x²+(4√3)²=7²

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Am elegantesten finde ich diese Lösung:

Finde ich auch am elegantesten.

4^2 + h^2 = 8^2 --> h^2 = 48

x^2 + h^2 = 7^2 --> x = ± 1

Damit ist das Verhältnis (4 - 1) : (4 + 1) = 3 : 5

Meine Hochachtung gilt vor allem dem, der sich sowas ausdenkt und dann noch ein Beispiel mit so schönen Zahlen "findet".

Ich habe jetzt auch ein paar andere Seitenlängen mit denen das geht, aber mit 7 und 8 ist es wirklich am schönsten.

Answer 3

In der Zeichnung ist mein Lösungsweg ersichtlich.

Comments

Und wie würdest du es lösen, wenn du es selbst lösen würdest?

Eine Abbildung mit falschen Kreisgleichungen ist nicht vertrauenserweckend.

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Das ist vermutlich die eleganteste Lösung.

Wie lautet die Definition von ELEGANT in der Mathematik? Wo beginnt sie, wo endet sie? Eine Sorites-Problem??

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Vor allem: wie würde man das ohne digitale Hilfsmittel lösen?

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eleganteste Lösung

ist ein Ding der persönlichen Einschätzung.

Wenn ein Beweis über 3 A4-Seiten geführt wird und ein anderer Beweis ein Zweizeiler ist, dann kann man letzteren als eleganter bezeichnen.

Andererseits kann man für ein Problem vielleicht einen sehr kurzen Lösungsweg mit Ableitungen oder Skalarprodukt von Vektoren oder Rang einer Matrix finden, während ein Schüler die Lösung zwar weniger kurz, aber mit elementaren Mitteln der Klassenstufe 8 aufschreibt. In dem Fall wäre für mich der elementare Weg der elegantere.

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Und wie würdest du es lösen, wenn du es selbst lösen würdest?

Finden der Koordinaten vom Mittelpunkt des  regelmäßigen Sechsecks \(S_8\)

Kreis um A\((0|0)\) mit \(r_1=8\):

\(x^2+y^2=64\)  →  \(y^2=64-x^2\)

Kreis um B\((8|0)\) mit \(r_1=8\):

\((x-8)^2+y^2=64\)    → \((x-8)^2+64-x^2=64\)  →\(x=4\) (nur der positive Wert)

\(y^2=64-16=48\)     \(y=4\sqrt{3}\)   (nur der positive Wert)

M\((4|4\sqrt{3})\)

Kreis um  M\((4|4\sqrt{3})\) mit \(r_2=7\)

\((x-4)^2+(y-4\sqrt{3})^2=49\)

Schnitt mit der x-Achse:

\((x-4)^2+(0-4\sqrt{3})^2=49\)

\((x-4)^2+48=49\)

\((x-4)^2=1\)

\(x_1=5\)

\(x_2=3\)

Teilungsverhältnis \(5:3\)