Bestimmen Sie u so, dass die Fläche des Rechtecks so groß wie möglich wird.

Question

Aufgabe:

\( f(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+2 x \)

Bestimmen Sie \( u \), so dass die Fläche des Rechtecks so groß wie möglich wird.

Problem/Ansatz:

HB: 2 • u • v ? Was soll ich bei der Hauptbedingung machen?

Comments

Wie kommst Du auf eine solche Hauptbedingung?

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich Länge mal Breite.

Das von Dir gewählte Schlagwort "komplex" passt hier auch nicht, es sind reelle Zahlen.

Answer 1

A(u) )= f(u)*u = -1/4*u^3+2u^2

A(u) maximieren:

A'(u) = 0

-3/4*u^2+4u= 0

-3/4*u*(u-16/3) = 0

u1= 0 entfällt

u2= 16/3 = 5 1/3

A''(u)= -6/4*u+4

A''(16/3) = -4 <0 (Maximum für u=16/3)

Comments

u2 = 16/3

u soll etwa 6,3 sein, genauer \(\displaystyle u=4 + \frac{4}{\sqrt{3}} \)

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Die Zielfunktion \(A(u)\) stimmt nicht.

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Wo liegt mein Fehler? Ich finde ihn nicht.

@döschwo: Wie kommst du auf dein Ergebnis?

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Ich hatte mal einen Dozenten, der zu sagen pflegte: "Wenn Du die Zielfunktion richtig optimieren willst, dann optimiere die richtige Zielfunktion."

Wie hier schon geschrieben worden ist: Die Zielfunktion ist falsch.

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Die Zielfunktion ist falsch

Das hat schon dein Vorredner gesagt. Warum wiederholst du das?

Und ich habe geschrieben, dass ich den Fehler nicht sehe. Was soll das? Ich bin an nicht-zielführenden Diskussionen nicht mehr interessiert und will als Helfer nicht wie ein Anfrager behandelt werden. Mein Motto: Fehler konkret benennen und gut ist es. So ist das Problem am schnellsten erledigt. Es gibt Leute hier, die tun. Die sind mir die Liebsten.

PS:

Geschichten aus deiner Vergangenheit interessieren mich nicht, erzähle sie deinen Freunden oder Schülern. Dozenten reden oft auch viel, wenn der Tag lang ist und machen Fehler, sind schlampig etc. Ich kenne genug schlechte Dozenten, ebenso wie sehr gute und mittelmäßige. Das spielt aber auch keine Rolle. Nur am Rande und damit du weißt, was ich erwarte. Deine Antwort in ihrer Form hättest du dir sparen können. Sie hilft mir nicht weiter, zumal mir jemand mein Ergebnis als richtig bestätigt hat. So und damit Ende der Nutzlos-Debatte. Schönes WE!

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Warum wiederholst du das?

Weil es eine direkte Antwort auf Deine Frage ist, wo Dein Fehler liegt.

Wie kommst du auf dein Ergebnis?

Ich dachte, mein weiter oben gegebener Hinweis

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich Länge mal Breite.

sei zielführend. Offenbar nicht für alle.

Wenn auch der Fragesteller damit nichts anfangen kann, werde ich das Optimum gerne vorrechnen.

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Guck dir das Bild an, dann wirst du sehen, warum \( u \) nicht die Länge der einen Seite des Rechtecks ist. Hoffentlich.

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Neuer Ansatz:

Scheitelstelle x= 4.

Gesuchte Stelle: x= 4+u

A(u) = (4+u)*f(4+u)

A'(u) = 0 ...

u= 4/3

gesuchter Punkt auf der Parabel: (16/3| f(16/3))

Auch so komme ich auf u= 16/3. Und was nun? Gesucht ist die Stelle von x= u = 4+4/3 =16/3. Wie erklärt sich es sich, dass dasselbe rauskommt.

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Des Apfelmännchens Hinweis wäre eigentlich zielführend gewesen.

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Wie erklärt sich es sich, dass dasselbe rauskommt?

Das ist klar, denn du hast ja deinen nicht richtige Zielfunktion nur um 4 Einheiten nach links verschoben, das hat natürlich keine Auswirkungen auf das gesuchte \(u\).

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Du hast Deine vorige Rechnung wiederholt, nur mit einer Variablenverschiebung. Du hast denselben Fehler gemacht, den Dir schon A erklärt hat.

Nimm mal das Beispiel aus der Skizze, lies dort die Breite des Rechtecks ab und Vergleiche mit Deiner Rechnung.

(Hatte die anderen Kommentare noch nicht gesehen)

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das hat natürlich keine Auswirkungen auf das gesuchte \(u\).

Die Stelle von u ist aber gesucht.

Ich bitte um Auflösung, weil ich keine Lust habe, nochmal anzusetzen. Irgendwas hat sich offenbar festgefressen, von dem ich nicht loskomme. Sorry, ist eben gerade so. Die Kommentare haben mir nicht wirklich geholfen, sondern nur deutlich gemacht, dass etwas nicht stimmen muss. Beenden wir bitte das für mich grausame Spiel. Die Lösung wird mir sicher die Augen öffnen.

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Moin simple mind.

Schau dir gerne meine Lösung an und sag, ob du damit klar kommst.

Answer 2

f(x) = -1/4·x^2 + 2·x

A(u) = 2·(u - 4)·f(u) = - 0.5·u^3 + 6·u^2 - 16·u

A'(u) = - 1.5·u^2 + 12·u - 16 = 0 → u = 4·√3/3 + 4 ≈ 6.309

Comments

2·(u - 4)·f(u)

Und da gehen ihm die Kronleuchter auf. Vielen Dank! So einfach kanns sein, wenn man nicht kompliziert denkt.

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Kleines Hilfsmittel, damit jedem ein Licht aufgeht.

Answer 3

\(f(x)=- \frac{1}{4}x^2+2x \)

Ich verschiebe den Graph von  \(f(x)=- \frac{1}{4}x^2+2x \) um 4 Einheiten nach links:

\(p(x)=- \frac{1}{4}(x+4)^2+2(x+4)\)

\(A(li)=2li\cdot[- \frac{1}{4}(li+4)^2+2(li+4)] \) soll maximal werden:

\(A'(li)=2\cdot[- \frac{1}{4}(li+4)^2+2(li+4)]+2l\cdot[- \frac{1}{2}(li+4)+2] \)

\(2\cdot[- \frac{1}{4}(li+4)^2+2(li+4)]+2li\cdot[- \frac{1}{2}(li+4)+2] =0\)

\(li=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

Somit gilt:

 \(u=li+4=\frac{4}{\sqrt{3}}+4\)

Comments

Auch hier bekommt man durchs Verschieben beim Ableiten die Kettenregel, die in der Klassenstufe in der Extremwertaufgaben dran sind, leider noch nicht behandelt worden sind.

Dann ist es schon einfacher, die verschobene Parabel über die Scheitelpunktform neu aufzustellen

p(x) = 4 - 0.25·x^2