Stellen Sie die Gleichungen für Tangente und Normale im Punkt P0 an die Funktion f(x) auf

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Gleichungen für Tangente und Normale im Punkt P0 an die Funktion f(x) auf.

f(x) = 2x*(x^2 - 2)

P0(1 | f1)

Die Aufgabe hat zweie Teile, den ersten Tal also a habe ich schon gefunden aber bei dieser Teil b komme ich nicht weiter.

Comments

P0(1 | f1)

Kann es sein, dass dort vielmehr steht:

P₀(1 | f(1))

?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Gleichung der Tangente an eine Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Die Gleichung der Normale an eine Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) lautet allgemein:$$n(x)=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)$$

Merke: Die Normalen-Steigung ist der negative Kehrwert der Tangenten-Steigung.

Wir brauchen also die Ableitung der \(f(x)\):$$f(x)=2x(x^2-2)=2x^3-4x\quad\implies\quad f'(x)=6x^2-4$$und die Werte von Funktion und Ableitung an der Stelle \(x_0=1\):$$f(1)=-2\quad;\quad f'(1)=2$$

Damit erhalten wir als Tangente bei \(x_0=1\):$$t(x)=-2+2\cdot(x-1)=2x-4$$und als Normale bei \(x_0=1\):$$n(x)=-2-\frac12\cdot(x-1)=-\frac12\,x-\frac32$$

~plot~ 2x*(x^2-2) ; 2x-4 ; -x/2-3/2 ; {1|-2} ~plot~

Answer 2

Stellen Sie die Gleichungen für Tangente und Normale im Punkt \(P_0(1|f_1)\) an die Funktion \(f(x) = 2x \cdot (x^2 - 2)\)auf!
\(f(1) = 2\cdot(1-2)=-2\)

\(P_0( \red{1}|-\orange{2})\)

Steigung der Tangente in  \(P_0\):

\(f'(x) = 2 \cdot (x^2 - 2)+2x\cdot 2x=6x^2-4\)

\(f'(\red{1}) = 6\cdot \red{1}-4=\blue {2}\)

Punkt-Steigungsform der Tangente:

Allgemein:\( \frac{y-y_1}{x-x_1}=m \)

\( \frac{y+\orange{2}}{x-\red{1}}=\blue {2} \)

Tangentengleichung:

\( y=2x-4\)

Steigung der Normalen:

\(m_T\cdot m_N=-1\)    → \( m_N=\frac{-1}{m_T}=\frac{-1}{2}=-\green{\frac{1}{2}}\)

Punkt-Steigungsform der Normalen:

\(  \frac{y+\orange{2}}{x-\red{1}}=-\green{\frac{1}{2}} \)

Normalengleichung:

\(y=- \frac{1}{2}x-1,5 \)

Answer 3

Die Tangente \(t\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) hat die Eigenschaften

        \(\begin{aligned}t'\left(x_0\right) &= f'\left(x_0\right)\\t\left(x_0\right) &= f\left(x_0\right)\end{aligned}\)

Auf deutsch: Funktion und Tangente haben an der Stelle wo die Tangente angelegt wird die gleiche Steigung. Funktion und Tangente haben an der Stelle wo die Tangente angelegt wird den gleichen Funktionswert.

Löse das Gleichungssystem.

Die Normale \(n\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) hat die Eigenschaften

        \(\begin{aligned}n'\left(x_0\right) &= -\frac{1}{f'\left(x_0\right)}\\n\left(x_0\right) &= f\left(x_0\right)\end{aligned}\)

Löse das Gleichungssystem.

Comments

Ich sehe nicht durch

Wo soll ich jetzt x0 her bekommen

Soll ich 1 durch 8 rechnen

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Die Tangente \(t\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) ...

An welcher Stelle wird die Tangente laut Aufgabenstellung angelegt? Das ist dein \(x_0\).

Soll ich 1 durch 8 rechnen

Wo holst du die 8 her?

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Keine Ahnung...

Bei P0 also 1/1?

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Bei P0 ...

Die Stelle ist die x-Koordinate dieses Punktes.

also 1/1?

Die y-Koordinate des Punkte P0 ist nicht 1, sondern

        f(1) = 2·1·(1² - 2) = -2

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Ah ok.

Also muss der erste Wert bei P0 in die Formel eingesetzt werden, das man den y Wert bekommt. Und an der Stelle treffen sich die gerade und diese Funktion

Answer 4

f(x) =2x^3-4x

f '(x) = 6x^2-4

t(x) = (x-1)*f '(1)+ f(1)

f(1) = -2

f '(1) = 2

t(x)= (x-1)*2 - 2 = 2x-4

n(x) = -1/f '(1)*x + b

f(1) = -1/2*1+b

-2= -1/2*1+b

b= -1,5

n(x) = -1/2*x -1,5

Es gilt:

m= Steigung der Tangente -> -1/m = Steigung der Normale

Comments

Ich danke dir

Wo holt ihr die Zahlen und diese Formeln nur her?

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In der Schlussformel für n fehlt ein Minus

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Danke, ich habe es ergänzt.

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Wo holt ihr die Zahlen und diese Formeln nur her?

Na ja, das hier:

t(x) = (x-1)*f '(1)+ f(1)

ist die Punkt-Steigungs-Form der Gleichung einer linearen Funktion, angewendet zum Bestimmen einer Tangentengleichung. Sie besticht durch ihre Einfachheit und hat darüber hinaus noch einen schönen Vorteil, denn mit

n(x) = –(x-1)/f '(1)+ f(1)

lässt sich auch die Normalengleichung sofort angeben. Das hat sm aber leider nicht so gemacht.

Answer 5

Wo holt ihr die Zahlen und diese Formeln nur her?

Lass dich von den Antworten, die die direkte Formel verwenden, nicht verwirren. Die Formel werden im Unterricht meist gar nicht mehr besprochen. Achte also auf das, was in deinen Unterlagen steht und was ihr dazu gemacht habt.

In der Schule wird häufig das folgende Vorgehen besprochen:

Eine Tangente an einem Graphen einer Funktion \(f\) an einer bestimmten Stelle \(x_0\) (wird meist vorgegeben) hat dort die gleiche Steigung wie der Graph von \(f\) und den gleichen Funktionswert. Daher berechnen wir

1. \(m=f'(x_0)\), die Steigung an dieser Stelle und

2. \(y=f(x_0)\), den zugehörigen \(y\)-Wert an dieser Stelle.

Eine Tangente ist immer eine Gerade (lineare Funktion), weshalb man jetzt den Ansatz \(y=mx+b\) nutzt und die vorgegebene Stelle \(x=x_0\), das berechnete \(m\) sowie das \(y\) einsetzt und nach \(b\) auflöst.

Zum Schluss die Funktionsgleichung in der Form \(t(x)=mx+b\) mit \(m\) und \(b\) notieren.

Für die Normale muss anschließend die Steigung geändert werden, denn Normale und Tangente sind senkrecht zueinander, das heißt, die Steigung der Normalen ist einfach der negative Kehrwert der Steigung der Tangente, also \(-\frac{1}{m}\). Damit kannst du dann mit demselben Ansatz wie bei der Tangente das passende \(b\) für die Normale bestimmen.

Comments

Für die Normale muss anschließend nur noch die Steigung geändert werden, denn Normale und Tangente sind senkrecht zueinander, das heißt, die Steigung der Normalen ist einfach der negative Kehrwert der Steigung der Tangente, also \(-\frac{1}{m}\).

Das ist falsch, da die beiden Geraden nun zwar senkrecht aufeinander stehen, sich aber nicht mehr im Berührpunkt schneiden.

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Danke, habe das mit dem \(y\)-Achsenabschnitt ergänzt. Der muss natürlich für die Normale erneut berechnet werden.