Problem mit Beweis im Skript, funktioniert meiner auch?

Question

Aufgabe:

Ich soll in meiner Mündlichen Prüfung Beweisen dass für Invertierbare Matrizen gilt dass die det(A) ungleich 0 ist und daher det(A^-1)=1/det(A) ist, ich habe aber große Probleme mit dem Beweis im Skript weshalb ich gerne meinen Eigenen machen würde. Funktioniert meiner oder kann mir wer den im Skript erklären?

Problem/Ansatz:

Sei \( A \) eine \( n \times n \) Matrix. Die \( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) genau dann, wenn A invertierbar ist. In diesem Fall gilt \( \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \).

HR: Ang. A ist invertierbar, dann existiert auch \( A^{-1} \) und es gilt \( 1=\operatorname{det}\left(E_{n}\right)= \) \( \operatorname{det}\left(A A^{-1}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}\left(A^{-1}\right) \). Daraus folgt dass \( \operatorname{die} \operatorname{det}(A) \neq 0 \) für alle invertierbaren Matrizen ist.Und es auch gilt \( \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \).

RR: Ang. \( \operatorname{det}(A)=0 \), und A wäre invertierbar. Dann ist analog \( 1=\operatorname{det}\left(E_{n}\right)= \) \( \operatorname{det}\left(A A^{-1}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\operatorname{det}\left(A^{-1}\right) \cdot 0 \). Dies ist ein Widerspruch da wir am Ende \( 0=1 \) stehen haben. Q.E.D.

Im Skript steht nämlich:

Korollar 4.99 Seien \( A \in \operatorname{Mat}(n) \) und \( k, \ell \in[n] \) zwei verschiedene Indizes. Addiert man ein Vielfaches der \( k \)-ten Spalte von \( A \) zur \( \ell \)-ten Spalte von \( A \), so ändert sich die Determinante nicht. Entsprechendes gilt für die Zeilen von \( A \).

Sei \( A \) eine \( n \times n \) Matrix. Die \( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) genau dann, wenn A invertierbar ist. In diesem Fall gilt \( \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \).
\( \Longleftarrow \) A invertierbar. Dann existiert auch \( A^{-1} \) und es gilt
\( 1=\operatorname{det}\left(E_{n}\right)=\operatorname{det}\left(A A^{-1}\right)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}\left(A^{-1}\right) \)

Es folgt \( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) und \( \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \)
\( \Longrightarrow \) Sei A nicht invertierbar, dann sind die Spalten von A linear abhängig. Wir können annehmen, dass ggf. nach Spaltenvertauschungen, die nur dsa Vorzeichen von \( \operatorname{det}(\mathrm{A}) \) verändern, die erste LK der übrigen geschrieben werden kann als:
\( a_{1}=\sum \limits_{I=2}^{n} \lambda_{i} a_{i} \text { mit } \lambda_{i} \in \mathbb{R} \)

Wir erhalten nach Korrollar 4.99:
\( \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\left(\sum \limits_{i=2}^{n} \lambda_{i} a_{i}, a_{2}, \ldots, a n\right)=\sum \limits_{i=2}^{n} \lambda_{i} \operatorname{det}\left(a_{i}, a_{2}, \ldots, a_{i}, \ldots, a_{n}\right)=0 \)

Also haben wir gezeigt: A nicht invertierbar \( \Longrightarrow \operatorname{det}(\mathrm{A})=0 \). Was den Beweis beendet.

Answer 1

Du zeigst korrekt: A inv. \(\implies \det A\neq 0\). Das ist die Rückrichtung.

Dies ist aber äquivalent zu \(\det A=0\implies A\) nicht invertierbar, denn generell: \((A\implies B) \iff (\neg B \implies \neg A)\).

Für die Hinrichtung musst Du Dir also was anderes einfallen lassen.

Answer 2

Hallo.

Die Hinrichtung (A regulär => det(A) ≠ 0) von dir ist soweit korrekt. Die Rückrichtung von dir ist aber so wie es da steht, nicht ganz richtig.

Wir machen die Rückrichtung nochmal. Wir müssen (det(A) ≠ 0 => A regulär) zeigen. Dafür können wir die Kontraposition zeigen, d.h. die Aussage (A nicht regulär => det(A) = 0).

Betrachte vorab folgende zwei Axiome für die Determinantenabbildung det : |K^(nxn) —> |K, wobei |K ein beliebiger Körper ist.

Axiom 1. Nach der Determinantenabbildung wissen wir, das wenn eine Matrix X ∈ |K^(nxn) eine Nullzeile enthält, sodass dann det(X) = 0 folgt.

Axiom 2. Die Determinante det(X) ∈ |K einer Matrix X ∈ |K^(nxn) ändert sich nicht durch die Addition des c-fachen einer Zeile (c ≠ 0) auf eine andere Zeile. (D.h. wenn du eine Matrix in der Form in Zeilenstufenform bringst, verändert sich die Determinante nicht.)

Beweis ,,<=’’.

Sei also A ∈ |K^(nxn) nicht regulär (nicht invertierbar), dann wird die Zeilenstufenform A’ von A, mindestens eine Nullzeile enthalten. Nach Axiom 1 und 2 folgt dann daraus die Tatsache, das det(A) = det(A’) = 0 ist.

Damit ist die Kontraposition gezeigt und damit die obige Aussage.

Comments

D.h. wenn du eine Matrix in der Form in Zeilenstufenform bringst, verändert sich die Determinante nicht.

Das ist falsch.

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Nein, ist es nicht. Wenn man eine Matrix mittels dieser elementaren Operation umformt, verändert sich die Determinante nicht…

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Mit genau dieser Umformung stimmt die Aussage. Diese Umformung verwendet aber normalerweise kaum einer (hier im Forum hab ich das gefühlt noch nie gesehen). Mit den sonst allgemein üblichen Umformungen ist es falsch. Außerdem sind für die ZSF u.U. auch Zeilenvertauschungen nötig, von denen hast Du gar nicht geredet - und die ändern die Determinante.

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Eben nicht. Nir weil wir bei komplizierten Matrizen nicht rechnen können, heisst es nicht das es theoretisch unmöglich ist eine reguläre Matrix in die vollständige Zeilenstufenform nur mittels der Additionsoperation zu bringen. Die Additionsoperation ändert die Determinante nicht und das ist das einzig wichtige für den Beweis dieses Satzes.

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Das ist nun wirklich falsch. Beispiele, wo es ohne Vertauschungen nicht geht, findest Du leicht selbst bzw. sollten Dir bekannt sein.

Du hälst anscheinend die Bem. über Spaltenvertauschungen im Beweis aus dem Skript für überflüssig.

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Ja, stimmt hast Recht. Ich habe dad mit den Spaltenumformumgen vergessen. Das ist hier aber trotzdem nicht so erstranging wichtig.

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Wieder Ausreden. Das ist natürlich wichtig. Es gibt im Beweis kein erstrangig/zweitrangig wichtig.

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Im Skript meines Profs steht das auch nicht drin. Das ist diesmal auch ein wissenschaftlicher Skript mit 200 Seiten.

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Aha, die ultimative Quelle, natürlich besser als das Skript des FS, 200 Seiten, da muss es ja stimmen. Erspart ja eigenes Denken. Über das Skript hatten wir schon diskutiert - was sagt er denn nun zur Def. von "Extremum"?

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Das Skript ist tatsächlich nun von einem anderen Prof und nicht von dem aus Analysis mit der unklaren Definition der Extrema einer Funktion.

Den Prof aus Analysis werde ich jetzt diese Woche fragen, da ja ab morgen mein Semester wieder beginnt und ich ihn in Analysis 3 weiterhin habe… Da kann ich dann hier schreiben, was er gesagt hat.

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Der Prof meinte, das das eine Kurzfassung ist zu sagen: Die Funktion hat bei (x,…) ein lokales Extremum. Das es also in Ordnung ist, es abzukürzen zu: (x,…) ist ein lokales Extremum von f.

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Was für ein Schwachsinn. Extremum ist jetzt nicht wesentlich kürzer als Extrempunkt...

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Mir kommt die Argumentation von irgendwoher bekannt vor.... ist doch richtig, ist halt eine Abkürzung, aber richtig gemeint, nur unwichtiger Kleinkram, zweitrangig, u.ä.

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Ja ich denke, der legt auf Bezeichnungen nicht so viel Wert.

Was mich aber wundert ist:

Falls f : |R^n —> |R eine Funktionale ist, lokal in x = (x_1, …, x_n) ∈ |R^n extremal wird und man x ∈ |R^n dann als einen Extrempunkt und f(x) ∈ |R als das Extremum bezeichnet. Wie nennt man dann (x, f(x)) ∈ |R^(n+1) ?

Bei eindimensionalen Funktionen |R —> |R, nannte man ja x ∈ |R die Extremstelle, f(x)  ∈ |R das Extremum und (x, f(x)) ∈ |R^2 den Extrempunkt.

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@nudger Und woher?

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Ja ich denke, der legt auf Bezeichnungen nicht so viel Wert.

Du offenbar auch nicht. Außerdem heißt es Funktional und nicht Funktionale, wo wir schon einmal bei Bezeichnungen sind.

Und wer sagt oder behauptet, dass \(x\in\mathbb{R}^n\) der Extrempunkt ist? Das wäre für mich - analog zum eindimensionalen Fall - ebenfalls nur die Extremstelle, weil eben \((x,f(x))\in \mathbb{R}^{n+1}\) der Extrempunkt ist.

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Ich würde es genau wie in \(\R^1\) machen: also: \(x\) ist die Extremstelle, an der das Extremum \(f(x)\) angenommen wird. Extrempunkt ist \((x,f(x))\).

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Verstehe, ich fand es halt nur etwas ungewohnt einen Punkt / Vektor in |R^n mit n > 1 als Stelle zu bezeichnen…