Mein Verständnisproblem ist hier, dass es mir nicht ganz klar ist, wohin das x im Nenner verschwunden ist?

Question

Aufgabe:

∫ (sin(ln(x)))/x

Problem/Ansatz:

Liebe Schwarmintelligenz,

ich habe Probleme beim Lösen des obigen Integrals. Konkret geht es um den letzten Schritt des angegeben Lösungsweges:

1. Substitution: u = ln(x) → du = 1/x dx

2. Einsetzen von u in Ausgangsgleichung: ∫ sin (u) du

3. Integral bestimmen: ∫ sin (u) du = - cos (u) 

4. Rücksubstitution: ∫ (sin(ln(x)))/x = - cos (ln(x)) + C

Mein Verständnisproblem ist hier, dass es mir nicht ganz klar ist, wohin das x im Nenner verschwunden ist? Wieso hat sich dieses im angegebenen Lösungsweg quasi aufgelöst? Nach meiner Intuition müsste die Lösung daher

∫ (sin(ln(x)))/x = - cos (ln(x))/x + C lauten.

Wieso fällt in der angegebenen Lösung das x im Nenner einfach weg? Kann mir jemand die dahinter steckende Logik erklären?

Vielen lieben Dank im Voraus!

Liebe Grüße Pi(mp)master314.

Comments

Zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Bevor wir substituieren, schreiben das Integral etwas um:$$I=\int\frac{\sin(\ln(x))}{x}\,dx=\int\sin(\ln(x))\cdot\frac{1}{x}\,dx$$

Mit Hilfe der Ableitung \(\frac{d(\ln(x))}{dx}=\frac1x\) bzw. \(d(\ln(x))=\frac1x\,dx\) kannst du das Integral formal umschreiben:$$I=\int\sin(\ln(x))\,d(\ln(x))$$Der Faktor \(\frac1x\) geht dabei nicht verloren, sondern ist in dem neuen Differential \(d(\ln(x))\) "enthalten".

Nun kannst du \(u(x)=\ln(x)\) substituieren:$$I=\int \sin(u)\,du=-\cos(u)+C=-\cos(\ln(x))+C$$

Comments

Danke für die Lösungshinweise. Könnte das Problem inzwischen lösen .

Answer 2

In Schritt 2. hast du falsch eingesetzt. Das dx muss in irgendwas mit du umgerechnet werden. Du hast außerdem ein paar mal das dx vergessen, vlt wäre der Fehler sonst nicht passiert.

Und Intuition lass mal außen vor, mach lieber die Probe mit deiner gefundenen Stammfunktion

Answer 3

Wenn du das gegebene Integral so aufschreibst, wie die Substitutionsregel hier angewendet wird, wird dir das "Verschwinden" des \(x\) im Nenner sofort klar.

Hier nochmal die von dir angewendete Regel:

$$\int f(g(x))\cdot g'(x) \, dx \stackrel{u=g(x)}{=} \left. \int f(u)\, du\right|_{u=g(x)}$$

In deinem Fall ist

$$\int f(g(x))\cdot g'(x) \, dx = \int \sin(\ln(x))\cdot \frac 1x\, dx$$
Siehst du jetzt, wo dein "Nenner-\(x\) hinverschwindet"?