Bild einer Teilmenge beweisen (Funktion)

Question

Aufgabe:

Es sei f: X -> Y eine Abbildung (Funktion) sowie A, B Teilmengen von X und C,D Teilmengen von Y. Beweisen Sie folgende Aussage über das Bild dieser Teilmengen:

f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

Problem/Ansatz:

Hättet ihr da eine Idee, wie man das beweisen könnte?

Answer 1

Für Mengen M, N beweist man M=N indem man M⊆N und N⊆M beweist.

Für Mengen M, N beweist man M⊆N indem man ein m ∈ M postuliert und zeigt dass m ∈ N ist.

f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

f(A ∪ B) ⊆ f(A) ∪ f(B):

Sei y ∈ f(A ∪ B).

Sei x ∈ A ∪ B mit f(x) = y (warum existiert so ein x?)

Dann ist x ∈ A oder x ∈ B (warum ist das so?).

Sei o.B.d.A x ∈ A (warum darf man das annehmen?).

Dann ist f(x) ∈ f(A) (warum?) also y ∈ f(A).

Somit ist y ∈ f(A) ∪ f(B) (warum?).

f(A) ∪ f(B) ⊆ f(A ∪ B):

selbst machen.

Answer 2

Wir machen es mit den zwei Inklusionen. Du zeigst, das beide Mengen Teilmengen voneinander sind. Dafür nimmst du ein beliebiges Element der einen Menge und zeigst, das es in der anderen liegt und umgekehrt.

Erste Inklusion:

Sei y ∈ f(A U B).

Dann gibt es ein x ∈ A U B sodass y = f(x) nach Definition einer Bildmenge.

Sei erstmal x ∈ A, so ist f(x) = y ∈ f(A) und anders für x ∈ B folgt f(x) = y ∈ f(B). D.h. es gilt y ∈ f(A) oder y ∈ f(B), was y ∈ f(A) U f(B) zeigt.

Umgekehrte Inklusion:

Sei y ∈ f(A) U f(B), d.h. y ∈ f(A) oder y ∈ f(B). Wenn y ∈ f(A) gilt, so gibt es ein x ∈ A mit f(x) = y. Anders wenn y ∈ f(B), so gibt es ein x ∈ B sodass f(x) = y.

D.h. x ∈ A U B, was y = f(x) ∈ f(A U B) liefert.

Weil beide Mengen voneinander Teilmengen sind, folgt deren Gleichheit.

——

Bemerkung: Um Mengengleichheiten zu zeigen, machst du es i.A. mit den Inklusionen.