Surjektivität der Funktion beweisen (Gegenbeispiel)

Question

Aufgabe:

Beweise ob die Funktion f surjektiv ist.

f: R -> R² , x -> (x, x² )

Problem/Ansatz:

Ich kann mir gar nicht vorstellen wie da mein Lösungsweg ausschauen könnte. Ich weiß, dass sie nicht surjektiv ist und es wurde mit dem Paar (0, -1) begründet. Warum kann ich das mit dem Paar begründen? -1 müsste ja 0² sein damit ich das so begründen kann, oder?

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet, dass jedes(!) Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen werden muss. Bei der Funktion$$t\colon\mathbb R\to\mathbb R^2\,;\,x\mapsto(x;x^2)$$befindet sich z.B. der Punkt \((0;1)\) in der Zielmenge \(\mathbb R^2\).

Es gibt aber kein \(x\) in der Definitionsmenge \(\mathbb R\) mit \(x=0\) und \(x^2=1\). Daher wird der Punkt \((0;1)\) aus der Zielmenge von keinem \(x\) aus der Definitionsmenge getroffen.

Die Funktion ist also nicht surjektiv.

Comments

perfekt danke!!!

Answer 2

Findest du ein Urbild zu \((0,-1)\)?

Comments

Nein aber wieso kann ich (0, -1) da als Bild auswählen?

0 und -1 müssen ja in Verbindung zueinander stehen (x, x² ). Und 0 hoch zwei ist nicht -1.

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Du kannst doch alles aus \(\mathbb{R}^2\) wählen. Und da \((0,-1)\) eben kein Element der Bildmenge ist, ist die Abbildung auch nicht surjektiv. Denn es müsste dann \((0,0)\) herauskommen, wenn \(x=0\) ist. Du hättest auch jedes andere Element wählen können, was nicht in der Bildmenge liegt.

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danke! habs jetzt verstanden

Answer 3

Surjektivität heisst, das die Bildmenge einer Funktion mit der ganzen Zielmenge übereinstimmt. D.h. es muss gelten für die Funktion f : |R —> |R^2 , f(x) := (x, x^2),

dass f(|R) = |R^2 ist.

Es ist aber

f(|R) = {f(x) : x ∈ |R} = {(x, x^2) : x ∈ |R} ≠ |R^2, da z.B. für a < 0, dann (x, a) ∈ |R^2 ist, aber nicht in f(|R), denn a < 0 ≤ x^2 für alle x ∈ |R.

Damit kann f nicht surjektiv sein.

Comments

Ein Druckfehlerchen: \(0 \leq x^2\) nicht \(0<x^2\)

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Danke, ist korrigiert.