Beweis für umgekehrte Inklusion (Mengenlehre)

Question

Aufgabe:

Beweise warum f (A ∩ B) ⊂ f (A) f (B) gilt aber nicht die umgekehert Inklusion. Identifizieren Sie dabei eine Stelle, an der keine allgemeingültige Äquivalenzumformung möglich ist. Was ist der Grund dafür?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe warum der erste Ausdruck eine Teilmenge vom zweiten Ausdruck ist. Aber nicht warum das Umgekehrte nicht gilt. Könnte mir da wer helfen?

Answer 1

Zeige, die Inklusion f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B), in dem du ein beliebiges Element aus der linken Menge nimmst und zeigst, das es in der rechten auch liegt.

Beweis.

Sei y ∈ f(A ∩ B). Dann gibt es ein x ∈ A ∩ B, sodass f(x) = y. D.h. es gilt x ∈ A und x ∈ B. Daraus folgt f(x) = y ∈ f(A) und f(x) = y ∈ f(B) und damit nach Definition f(x) = y ∈ f(A) ∩ f(B).

Edit:

Wir wollen zeigen, das die Rückinklusion, d.h. f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B) i.A. nicht gilt. Dafür müssen wir ein Gegenbeispiel finden.

Gegenbeispiel:

Wir wählen f := sin : |R —> |R, d.h. f(x) := sin(x) mit x ∈ |R.
Dann wähle A := {π/2}, B := {5π/2} ⊂ |R.

So gilt dann A ∩ B = {} (also leer), woraus dann f(A ∩ B) = f({}) = {} folgt.

Jedoch ist f(A) ∩ f(B) = {1} ∩ {1} = {1} wegen f(π/2) = f(5π/2) = 1.

Damit würde f(A ∩ B) = {} als leere Menge eine Teilmenge von f(A) ∩ f(B) = {1} sein und damit die obere Mengenrelation nicht gelten. Das wäre also ein passendes Gegenbeispiel für deine Frage

Edit: (Allgemeines Argument, warum die Rückinklusion i.A. nicht gelten muss)

Das die Rückrichtung i.A. nicht gilt, hat was mit der Injektivität auf sich, welche i.A. nicht vorausgesetzt ist.
Da y ∈ f(A) und y ∈ f(B) ist, gibt es nach Definition ein Paar (a,b) ∈ A x B, sodass gilt f(a) = y = f(b). Da f i.A. nicht injektiv ist, kann also a ≠ b gelten. Damit gilt also i.A. nicht y ∈ f(A ∩ B) nicht dadurch das eben (a,b) ∈ (A ∩ B) x (A ∩ B) nicht gelten muss.

Comments

Warum wartest Du nicht, bis FS seinen Beweis liefert, hat er ja angekündigt?

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Ja, manchmal hilft es mehr, wenn der FS lieber die Logik versteht.

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Und warum meinst Du, dass er das braucht? Warum wartest Du nicht (hast Du meine Frage überlesen?)?

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Der Beweis ist nicht so spektakulär, sodass der FS trotzdem durch Lösungen lernen kann.

In der Tat, hatte ich Deine Antwort und damit auch Deine Frage übersehen.

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Gerade deshalb kann FS gut an diesem Beweis lernen, wenn er ihn selbst findet.

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Ja das verstehe ich schon. Aber warum gilt es nicht umgekehrt?

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Das habe ich Dir in meiner Antwort erklärt. Da Du vermutlich schon den Beweis nicht selbst erarbeitet hast, könntest Du das mal selbst probieren. Dann kannst Du das Verständnis nachholen.

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was redest du??? ich hab mir den beweis schon selbst aufgeschrieben und verstanden. Bitte auf meine frage antworten und nicht auf irgendwas. Meine ursprüngliche frage war warum das nicht in die andere richtung geht. Ich schreibe auf diesem Mathe Forum um Hilfe und Lösungsansätze zu kriegen und nicht angemault zu werden, dass ich etwas selber machen soll. Wenn du mir nicht helfen willst, dann bitte kommentier nicht mehr

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Der Beweis ist nicht so spektakulär, sodass der FS trotzdem durch Lösungen lernen kann.

Gerade als Anfänger sind solche Beweise aber notwendig, um daran zu lernen, wie man ordentlich und sauber einen Beweis führt. Da fängt man für gewöhnlich mit nicht spektakulären Beweisen an, denn selbst das bekommt der Großteil der Anfänger schon nicht hin. Wir wissen alle, dass du das kannst und dass das für dich alles total einfach ist. Aber es geht hier immer noch nicht um dich, sondern um den FS!

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Ich habe gesagt "vermutlich", da Du Deinen Beweis nicht hochgeladen hast (brauchtest Du ja nicht) und wir ihn damit nicht gesehen haben. Es geht bei solchen Aufgaben nicht um das Ergebnis (wir wissen ja, die Umkehrung gilt nicht), sondern zu lernen, einen Beweis zu analysieren. Wie das in diesem Fall geht, hab ich Dir erklärt. Magst Du das mal probieren?

Du hast nach der Lösung gefragt und ich hab Dir das Vorgehen dazu erklärt.

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@randoma:

Meine ursprüngliche frage war warum das nicht in die andere richtung geht.

Warum markierst du diese Antwort als beste Antwort, obwohl sie deine Frage gar nicht beantwortet hat?

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Def, f(A) ∩ f(B) also ist x ein Element aus der Menge A und x ist ein Element der Menge B.

Def, Es gibt ein y welches Element aus f(A) ∩ f(B) ist, für welches f(x)= y gilt.

Wenn x ein Element aus A und x ein Element aus B ist, dann ist x ein Element der Schnittmenge der Menge A und B, was man wiederum so anschreiben kann: x ist ein Element A ∩ B. y ist mein Funktionswert an der Stelle x, also y ist ein Element aus f(A ∩ B).

Dieser Beweis stimmt aber nicht, weil aus f(A) ∩ f(B), nicht f(A ∩ B) zu folgern sein soll. Man muss es auch zusätzlich mit einem Gegenbeispiel erklären.

Das alles steht schon ganz am Anfang in meiner Frage.... Deshalb will ich einfach nur, dass man auf meine Frage antwortet, und nicht vor mir Lehre spielt. Ich habe zurzeit sehr viel Uni Stress und versuche über Mathe Plattformen bisschen Druck zu nehmen......

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Def, f(A) ∩ f(B) also ist x ein Element aus der Menge A und x ist ein Element der Menge B.

Das ist so nicht korrekt. Siehst du auch, warum?

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Warum sollte das nicht richtig sein?

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Es ist \(x\in A\cap B\), wenn \(x\in A\) und \(x\in B\). Bei dir steht hier aber etwas anders.

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Ich habe geschrieben, dass x ein Element aus der Menge A ist und dass x ein Element der Menge B ist. Das ist genau das, was du aufgeschrieben hast nur ohne mathematische Zeichen, weil ich das jetzt auf die Schnelle aufgeschrieben hab.

Das beweist aber noch immer nicht warum das Umgekehrte meiner Implikation nicht gilt

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Und was soll

Def, f(A) ∩ f(B)

bedeuten? Denn das habe ich nicht geschrieben. Du schon.

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aus f( A und B) folgt dass x ein Element aus .... usw.

hab ich vereinfacht aufgeschrieben

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Aber \(f(A)\cap f(B)\) ist etwas anderes als \(f(A\cap B)\). Denk bitte nicht, dass ich dich ärgern möchte. Aber, wer Mathematik betreibt (ist das dein Studienfach?) muss sorgfältig und präzise arbeiten. Wenn du das nicht beherzigst, kannst du auch nicht erkennen, warum der Beweis schief geht bzw. du kannst dann allgemein Dinge nicht korrekt beweisen, weil solche Beweise dann unsauber sind. Auf diese Weise könnte man jeden erdenklichen Mist beweisen, zum Beispiel, dass \(0=1\) gilt.

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@randoma

danke erstmal für den Stern! Ich hatte deine zweite Frage überlesen.

Wir wollen zeigen, das die Rückinklusion, d.h. f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B) i.A. nicht gilt. Dafür müssen wir ein Gegenbeispiel finden.

Gegenbeispiel:

Wir wählen f := sin : |R —> |R, d.h. f(x) := sin(x) mit x ∈ |R.

Dann wähle A := {π/2} und B := {5π/2}, als Teilmengen von |R.

So gilt dann A ∩ B = {} (also leer), woraus dann f(A ∩ B) = f({}) = {} folgt.

Jedoch ist f(A) ∩ f(B) = {1} ∩ {1} = {1} wegen f(π/2) = f(5π/2) = 1.

Damit würde f(A ∩ B) = {} als leere Menge eine Teilmenge von f(A) ∩ f(B) = {1} sein und damit die obere Mengenrelation nicht gelten. Das wäre also ein passendes Gegenbeispiel für deine Frage :)

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Vgl die Antwort von apfelmännchen unten... Du (Txman) hast die Frage immer noch nicht gelesen.

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Dafür gibt es keine Antwort. Im Beweis kann man das nicht sehen.

Für das Urbild f^(-1) : P(Y) —> P(X) gilt z.B. für alle (A,B) ∈ P(Y) x P(Y):

f^(-1)(A ∩ B) = f^(-1)(A) ∩ f^(-1)(B), obwohl diese Abbildung jetzt zur Bildabbildung f : P(X) —> P(Y) sich nicht so unterscheidet bzgl. der Definition, ausser jetzt das das Urbild eben das ,,Umgekehrte‘‘ ist.

Die Urbildabbildung ist eben im Gegensatz zur Bildabbildung ein Ringhomomorphismus bzgl. der beiden kommutativen Ringe (P(X), ∆ , ∩) und (P(Y), ∆ , ∩).

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Natürlich gibt es dafür eine Antwort und man kann das am Beweis sehen. Dein mathematischer Overkill ist da nicht gefragt.

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ignoriere das, neue Antwort kommt.

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Das die Rückrichtung i.A. nicht gilt, hat was mit der Injektivität auf sich, welche i.A. nicht vorausgesetzt ist.

Da y ∈ f(A) und y ∈ f(B) ist, gibt es nach Definition ein Paar (a,b) ∈ A x B, sodass gilt f(a) = y = f(b). Da f i.A. nicht injektiv ist, kann also a ≠ b gelten. Damit gilt also i.A. nicht y ∈ f(A ∩ B) nicht dadurch das eben a,b ∈ A ∩ B nicht gelten muss.

@randoma Ich hoffe damit ist deine Frage geklärt. Falls nicht, kannst du gerne nachfragen!

Answer 2

Was soll auf der rechten Seite von f (A ∩ B) ⊂ f (A) f (B) stehen?

Wie Dir schon erklärt wurde, fängt der Beweis an mit "\(x\in A\cap B\)". Danach geht es mit \(\Longrightarrow\) weiter, mehrmals, bis man auf landet bei \(x\in ...\) (rechte Seite).

Wenn Du diesen Beweis vorliegen hast (Du sagst, "Du verstehst", dann schreibe den Beweis auch sorgfältig auf), sollst Du prüfen, ob und wo \(\Longrightarrow\) durch \(\iff\) ersetzt werden kann bzw. ggf. warum nicht.

Fang also mit einem sauberen Beweis an, lade ihn gerne zur Kontrolle hoch.

Comments

danke! werde ich dann hochladen. ich muss nur eine kurze pause machen

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Ich habe dir unten einen sauberen Beweis hochgeladen, schaue ihn dir gerne an :)

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@nudger Wozu meldest Du meinen Post?

Answer 3

Aber nicht warum das Umgekehrte nicht gilt. Könnte mir da wer helfen?

Um das mal zu beantworten:

Betrachte \(f(x)=x^2\) sowie \(A=\{1;2\}\) und \(B=\{-1;2\}\). Dann ist \(A\cap B = \{2\}\).

Dann ist \(f(A)=\{1;4\}\) sowie \(f(B)=\{1;4\}\) und damit auch \(f(A)\cap f(B)=\{1;4\}\). Allerdings ist \(f(A\cap B)=\{4\}\).

Das ist natürlich nur ein Gegenbeispiel dafür, warum die Umkehrung nicht gilt. Das beantwortet jedoch nicht die Frage, an welcher Stelle im eigentlichen Beweis keine Äquivalenz gilt und warum nicht.

Comments

Das die Rückrichtung i.A. nicht gilt, hat was mit der Injektivität auf sich, welche i.A. nicht vorausgesetzt ist.

Da y ∈ f(A) und y ∈ f(B) ist, gibt es nach Definition ein Paar (a,b) ∈ A x B, sodass gilt f(a) = y = f(b). Da f i.A. nicht injektiv ist, kann also a ≠ b gelten. Damit gilt also i.A. nicht y ∈ f(A ∩ B) nicht dadurch das eben (a,b) ∈ (A ∩ B) x (A ∩ B) nicht gelten muss.