Lagebeziehung zweier Geraden - Schnittpunkt

Question

Hallo Mathefreunde,

 

hier ist eine wohl sehr triviale Aufgabe, aber ich bekomme sie einfach nicht gelöst (Brett vor dem Kopf?):

 

Bestimme die Lagebeziehung der Geraden h und g. Bestimme ggf. den Schnittpunkt.

01.
g: x = (2|2|0) + s * (-2|2|2)
h: x = (1|4|0) + t * (-1|-3|2)

 

Mein Vorgehen:

Die Richtungsvektoren sind ungleich, aus diesem Grunde können die Geraden nicht parallel
oder gar identisch sein.
Gibt es einen Schnittpunkt der beiden Geraden? Gleichsetzen:
2 - 2s = 1 - t
2 + 2s = 4 - 3t
0 + 2s = 0 + 2t | => s = t

Also kann man in den ersten beiden Gleichungen für s das t einsetzen:
2 - 2t = 1 - t
2 + 2t = 4 - 3t

Addieren der beiden Gleichungen ergibt
4 = 5 - 4t
-1 = -4t | : (-4)
t = s = 1/4

Probe:
(2|2|0) + 1/4 * (-2|2|2) = (1,5|2,5|0,5)
(1|4|0) + 1/4 * (-1|-3|2) = (0,75|3,25|0,5)

 

Wo liegt mein Denkfehler, so dass ich keine vernünftigen Schnittpunkt herausbekomme?

 

Answer 1

Es gibt halt keinen Schnittpunkt. Zwei Geraden im Raum können auch Windschief sein.
Stell dir also mal eine Straßenlaterne vor und die Straße die 4 m daran vorbei läuft. Beides idealisiert sind geraden die aber im Raum aneinander vorbei laufen würden.

Rechne doch mal deine beiden Gleichungen getrennt aus

2 - 2t = 1 - t 
1 = t

2 + 2t = 4 - 3t 
5t = 2

Beide Gleichungen Widersprechen sich also. Die gleichungen zu addieren bringt nur das du noch eine Gleichung heraus hast. Das hat aber nichts mit dem Additionsverfahren zu tun. Beim Additionsverfahren addiert man 2 Gleichungen so, dass eine unbekannte wegfällt. Das war bei dir ja nicht der Fall

Hast du also 

x = 2

2x = 5

Dann ist es unsinnig die zu addieren

3x = 7

Jetzt aber von der dritten Gleichung auf die Lösung x = 7/3 zu schließen wäre fatal.

Comments

@ Mathecoach:

Danke Dir!

Es ist mir klar, dass zwei Geraden im Raum windschief sein können und deshalb keinen Schnittpunkt haben.

Aber meine Rechnung und ihr Ergebnis sind so konfus - da muss doch irgendwo ein Rechenfehler sein??

Das ist der Punkt, der mich verzweifeln lässt - schwächen wir es ab: Verwirrt :-D

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Im zweiten Teil meiner Antwort habe ich ja versucht das Missverständnis des Addierens aufzuklären.

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Danke Coach,

ich werde mir das morgen nochmals in Ruhe ansehen!!

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Mit dem Brett, was ich vor dem Kopf hatte, hätte ich ein Carport bauen können :-)

Danke für Deine Erklärung und Deine Geduld Mathecoach !!

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Geht mir manchmal auch so das ich erstmal über eine Aufgabe eine Nacht schlafen muss bin ich da durchsteige. Und der Umgang mit linearen Gleichungssystemen muss auch erstmal etwas geübt werden.

Wichtig ist am Ende nur das man es verstanden hat. Auch wenn man dabei manchen Stolperstein überwinden musste.