∀n∈N n2+9≥6n mit Induktionsbeweis lösen

Question

Aufgabe:

∀n∈N n2+9≥6n mit induktionsbeweis lösen

Problem/Ansatz:

Ich hatte viele Versuche und auch eine Lösung mit chatgpt, das eine quadratische gleichung gleich größer null ist, trotzdem möchte ich aber gerne wissen wie man das den schön mit einem induktionsbeweis zeigt.

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Und wo sind deine Ansätze?

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Text erkannt:

\( \begin{array}{c} \Leftrightarrow n^{2}+2 n+1+9=6 n+6 \\ \Leftrightarrow n^{2}+9 \geq 6 n+6-2 n-1 \\ \Leftrightarrow n^{2}+9 \geq 4 n+5 \end{array} \)
(15:)
\( \begin{array}{l} (n+1)^{2}+9 \geq 6(n+1) \\ \Leftrightarrow n^{2}+2 n+10 \geq 6 n+6 \\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2}+4 \geq 4 n \\ \Leftrightarrow n\left(x+\frac{4}{n}\right) \geq n(4) \Leftrightarrow n+\frac{4}{3} \geq 4 \mathrm{~V} \end{array} \\ \begin{array}{l} n=1: r \quad \& \quad \text { ： } \\ n=2: r \end{array} \\ n=3: V \\ n=4: V \\ \text { S: } \\ n+1+\frac{4}{n+1} \geq 4 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 1-n+1+\frac{4}{n+1} \geq n+\frac{4}{n} \\ \text { - } 1+\frac{4}{n+1} \geq \frac{4+1}{n+1} \\ \Leftrightarrow \frac{n+1}{n+1}+\frac{4}{n+1} \geqslant \frac{4+1}{n+1} \\ \Leftrightarrow \frac{n+5}{n+1} \geq \frac{4+1}{n+1} \\ \Leftrightarrow n+5 \geq 5 \\ \Leftrightarrow n \geq 0 \checkmark \end{array} \)

Ist kein schöner Beweis, eher ziemlich durcheinander, deswegen frage ich, ob jemand denn eine Idee hat für eine schönen Induktionsbeweis

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Ein Induktionsbeweises enthält, jeweils sauber aufgeschrieben: Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsbehauptung. Soweit solltest Du schon kommen. Danach wird's erst ernst, mit dem Nachweis der Ind.Beh. Dazu fängt man mit einer Seite der zu zeigenden Ungleichung an und rechnet los (insb. keine(!) Äquivalenzumformung).

Answer 1

Du machst es halt auch unnötig kompliziert und nutzt die Induktionsvoraussetzung nicht:

\((n+1)^2+9=n^2+2n+1+9\stackrel{IV}{\geq}6n+2n+1\stackrel{n\geq 3}{\geq}6n+6=6(n+1)\)

Man kann solche Beweise oft sehr kurz führen. Das sollte man einfach mal üben. Aber wenn kein Induktionsbeweis verlangt ist, geht es natürlich auch ohne.

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Danke dir! Fehlt dann nicht aber noch 2 ≥ n ≥ 1 zeigen? Also hat noch n gleich 2 und gleich 1? Weil in der Aussage steht ja ∀n∈N

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ach habe ich ja auch am Anfang...vergiss was ich geschrieben hab!

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Wenn man sowas wie \( n \geq 3 \) benutzt, zeigt man die anderen Werte einfach beim Induktionsanfang. Damit hat man ja alle Werte abgedeckt.

Answer 2

Um wie viel wird der linke Term (noch ist er n²+9) größer, wenn man n durch (n+1) ersetzt?

Um wie viel wird der rechte Term (noch ist er 6n) größer, wenn man n durch (n+1) ersetzt?

Und ab welchem n ist der linke Zuwachs größer als der rechte Zuwachs?

Answer 3

Hallo,

der induktive Beweis ist hier gar nicht so ganz trivial wie er schein. Du hast ja die Werte für \(n=1,2,3,4\) berechnet. Dann sollte Dir aufgefallen sein, dass die Differenz des rechten zum linken Term zunächst bis auf auf 0 absinkt (bei \(n=3\)) um erst danach wieder anzusteigen.

Deshalb solltest Du beim Beweis in die Induktionsannahme auch einfließen lassen, dass \(n\ge 3\) ist. Und die Werte \(n=1\) bis \(n=3\) zeigst Du eben extra. Und so geht's dann wie gehabt. Beginne mit dem linken Term, ersetze \(n\) durch \(n+1\) und zeige, dass dies größer oder gleich \(6(n+1)\) ist$$n^2+9 \ge 6n \\ n=1: \quad 1+9 \ge 6\cdot 1 \space \checkmark \\ n=2: \quad 4+9 \ge 6\cdot 2 \space \checkmark \\ n=3: \quad 9+9 \ge 6\cdot 3 \space \checkmark \\ \begin{aligned} (n+1)^2 + 9 &= n^2 +2n +1 + 9 \\ &= \left(n^2 + 9\right) + 2n +1 &&|\, \text{lt. IA.}\\ &\ge 6n + 2n + 1 &&|\, n \ge 3\\ &\ge 6n + 6 + 1\\&\ge6(n+1)\\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$Gruß Werner

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Vielen lieben Dank Werner!