Faktorisieren eines kubischen Terms

Question

Aufgabe:

ich steh gerade komplett auf dem Schlauch.

Wenn man einen Term hat der lautet

(x^3-a^3)

Ich müssten diesen faktorisiern zur Berechnung eines Differentialquotienten.

Als nicht das schnelle ableiten sonder über den Differentialquotienten (limes x geht gegen a ). Also die ausführliche Methode.

Ich hab mitgeschrieben das (x-a) * (x^2+ax+a^2) rauskommt.wenn ich das wieder ausmultipliziere kommt ja wieder (x^3-a^3) rauß. ich will aber das faktorisieren grundsätzlich wissen wie man es am besten angeht

Ich hoffe ich konnte mich einigermaßen verständlich ausdrücken.

mfg

Master62

Comments

https://www.mathelounge.de/46325/faktorisierung-von-x-3-y-3-mit-horner-schema

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Hallo,

x³-a³=0 hat offensichtlich als eine Lösung x=a.

Daher kann (x-a) als Linearfaktor abspalten.

Mit Horner-Schema:

	1	0	0	-a³
	/	a	a²	a³
x=a	1	a	a²	0

Also x³-a³=(x-a)(x²+ax+a²).

:-)

Answer 1

Über Polynomdivision. Wenn (x-a) ein Faktor des Polynoms ist, geht die Division auf, d.h. Rest 0. Wenn nicht (also Rest nicht 0), ist (x-a) kein Faktor, dann kann man auch gar nicht faktorisieren.

Comments

Danke...

Na klasse. Polynomdivision steht bei uns im Lehrplan nicht mehr drinn. Es wird also nicht unterichtet. Warum auch immer. Ich stell mal dann dem Lehrer die Frage warum er dann solche Übungsaufgaben stellt.

Mein Vater hat das schon vermutet das auf Polynomdivision hinausläuft.

Eine andere Möglichkeit gibt es wohl nicht?

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Letztlich läuft es auf Polynomdivision raus.

Anscheinend ist es Dir aber vorgerechnet worden - vlt, weil Ihr ja keine Polynomdivision kennt? In manchen Aufgaben hilft es generell zu wissen, dass \(x-a\) ein Faktor von \(x^n-a^n\) ist (z.B. bei der Differenzierbarkeit von \(f(x)=x^n\)). Es gilt:

\(x^n-y^n = (x-y)\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i}\,y^i\)

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Jepp.... das war es. (x-a) war schon vorgegeben.

Und wenn manne Aufgabe hat die lautet.

Bestimmen sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=-2x^3 an der Stelle a mithilfe des Differenzenquotienten

Ansatz von mir

f(x)-f(a)/x-a

-2x^3 - 2a^3/x-a

2(x^3 - a^3)/x-a   limes x gegen a.

Und jetzt kommt das Problem. Der Nenner, also (x-a) sollte man wegkürzen könne.

Nur wie ?

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Noch ein Weg: Schreibe den Zähler um:

\(x^3-a^3=x^2(x-a)+a(x^2-a^2)\), dann kannst Du kürzen (3. bin. Formel) und dann \(x\to a\).

PS: analog mit \(f(x)=-2x^3\), ist ja nur ein Faktor \(-2\) überall drin (vorher ausklammern!).

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Denk hab es so langsam geschnallt.

Wobei mir Variante 1 eher zusagt. Vor allem muß er einen Faktor (in dem Fall (x-a) vorgeben. Den Rest bekomm ich dann hin.

Später wird eh nur schnell abgeleitet mit den entsprechenden Regeln.

Wobei bei den Übungen war auch so eine "komische" Funktion zum ableiten.

g(x)=x^2/a + 5b/2x^2

Bilde die erste Ableitung

Meine Lösung wäre:

g'(x) = 5ab + 2x^4/2ax^2

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Der Faktor x-a nützt ja nichts, Du musst ja den anderen Faktor kennen um weiterzurechnen (also \(x^3-a^3=(x-a)\cdot ?\)).

Du hast recht, später braucht man nur noch die Regeln (immer schön üben).

Wie Du auf Dein g' kommst, weiß ich nicht. So wie ich Dein g lese, als g(x)=x²/a+5b/(2x²), wäre g'(x)=2x/a-5/x³.

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Stimmt.... hab mich verechnet bei so nem Konstrukt.

Vielen Dank mal. Hat mir sehr geholfen.

Grüße

Master62