Winkel berechnen, unter dem der Ball abgeschossen werden muss

Question

Aufgabe:

Ich weiß der Titel meiner Frage ist etwas blöd. Die Aufgabenstellung lautet:

Ein Fußball soll auf eine bestimmte Flugbahn gebracht werden. Diese kann durch die Funktion mit h(x)=1/24(x-11)² +5 beschrieben werden. h ist die Höhe in m und x die waagrechte Entfernung in m von der Schussstelle. Unter welchem Winkel muss der Fußball abgeschossen werden, damit er diese Flugbahn beschreibt?

Problem/Ansatz:

Ich habe für das zwar keinen eigenen Lösungsansatz, aber die richtige Antwort sollte lauten: 42,5°

Answer 1

Die erste Ableitung von h(x) an der Stelle x=0 entspricht dem Tangens des Abschusswinkels.

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Streng genommen nicht. So hat es aber auch die Musterlösung gemacht, die daher falsch ist. Der Ball wird nicht an der Stelle \(x=0\) abgeschossen, sondern an der Stelle \(x=11-2\sqrt{30}\approx 0,045549\neq 0\). Zumindest, wenn man davon ausgeht, dass die \(x\)-Achse den waagerechten Boden darstellt. Vielleicht liegt der Ball auch in einer ca. 4 cm tiefen Kuhle... Wer weiß das schon...

Answer 2

Hallo,

ich nehme an, die Funktionsgleichung lautet \(\red-\frac{1}{24}(x-11)^2+5\).

Der Abschuss findet im Ursprung statt. Bestimme die Steigung = 1. Ableitung an dieser Stelle und berechne dann \(tan^{-1}\) deines Ergebnisses.

Gruß, Silvia

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dankeschön, hab es jetzt geschafft

Answer 3

Wir multiplizieren den Funktionsterm aus.

f(x) = -1/24·(x - 11)^2 + 5 = - x^2/24 + 11/12·x - 1/24

Nun hätte die Tangente an der Stelle 0 die Funktionsgleichung

t(x) = 11/12·x - 1/24

und damit die Steigung 11/12 bzw. den Steigungswinkel ARCTAN(11/12) = 42.51°

Wenn man die Nullstelle als Abschusspunkt nimmt, erhält man

f(x) = - x^2/24 + 11/12·x - 1/24 = 0 --> x = 11 - 2·√30 = 0.04555

f'(x) = 11/12 - x/12

f'(11 - 2·√30) = 11/12 - (11 - 2·√30)/12 = √30/6

ARCTAN(√30/6) = 42.39°

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ok dankeschön