Kegel Schwerpunkt berechnen

Question

Aufgabe:

Kegel-schwerpunkt berechnen

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

Ich muss für den Kegel K=$$\{{x\in \mathbb{R}^{d}:x_d\in[0,h],x_1^2+…+x_{d-1}^2\leq R^2(1-x_d/h)^2}\}$$ den Schwerpunkt S Berechnen.

Aufgrund der Symmetrie müssten ja sowohl die x als auch die y-Koordinate 0 sein, richtig? Aber ab da weiß ich einfach nicht wie ich den Körper verwenden muss, um den Schwerpunkt zu berechnen.

Für eine Lösung wäre ich extrem dankbar!

Liebe Grüße

Comments

Da du von x und y redest soll d=3 sein?

lull

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Nachdem du nun auf math.stackexchange und auf Mathepl. dieselbe Frage gepostet hast, wäre es vielleicht an der Zeit, etwas Eigeninitiative zu zeigen.

Ich habe eine komplette Berechnung der \(x_d\)-Koordinate des Schwerpunktes, die ich aber nur poste, wenn du dich aktiv an der Löung beteiligst.

Übrigens (apropos stackexchange: nicht "focal point" sondern "barycenter" or "center of mass").

Answer 1

Habt ihr irgendwo die Formel für das Volumen der n-dimensionalen Kugel schon gehabt?

\(V_n =c_n r^n\) mit \(c_n = \frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma\left(\frac n2 + 1\right)}\)

In deinem Fall wäre \(n=d-1\) und \(c_n\) würde sich bei der Berechnung des geometrischen Schwerpunktes rauskürzen.

Wegen Symmetrie sind im Schwerpunkt \(x_{S,1} = \ldots = x_{S,d-1} =0\) und unter Verwendung obiger Formel mit \(r(x_d) = R\left(1-\frac {x_d}h\right)\) findest du per Integration \(x_{S,d} = \frac h{d+1}\).