Question

Berechnen mithilfe der Cauchyschen Integralformel. \(|z - z_0| = r\) bezeichnet einen geschlossenen Kreis mit Mittelpunkt \( m \) und Radius \( r \).

(Ergebnisse sollen in der der Form \( z = x + iy \)\) geschrieben werden.

\(\oint\limits_{|z|=3} \frac{\cos(\pi z)}{z^2 - 1} \, dz\)

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Ich bin mir etwas unsicher wie ich anfangen soll, denn eigentlich fängt man doch jetzt an z zu berechnen von dem Nenner (also \(z^2 -1\)) was \(\pm 1\) ergeben würde...
Allerdings wüsste ich nicht was ich danach damit anfangen soll. Bzw. müsste man hier eigentlich Faktorisieren? Weil dann könnte man doch mit der Partialbruchzerlegung das integral lösen, oder denke ich da falsch?

Answer 1

Deine Idee klingt gut.

Zerlege \(\frac 1{z^2-1}\) in Partialbrüche. So zerfällt das Integral in zwei Teilintegrale, auf die du jeweils Cauchys Integralformel anwenden kannst.

Zur Kontrolle:

Per Cauchy-Integralsatz erhältst du

$$\pi i(\cos(\pi\cdot 1) - \cos(\pi \cdot (-1))) = 0$$

Comments

Gut zu wissen und dankeschön für die Kontrolle