Verhältnis Fläche Integration und Umkehrfunktion und Differentiation und Umkehrfunktion einer beliebigen Funktion

Question

Aufgabe:

Es soll das Verhältnis der eingeschlossenen Fläche, der von den Graphen der Differentiation und Ihrer Umkehrfunktion, sowie der Graphen der Integration und Ihrer Umkehrfunktion, einer beliebigen Funktion aufgezeigt werden.

Problem/Ansatz:

ein einfaches Beispiel:
Funktion:          f(x)=x^2
Differentiation f'(x)=(x^2)'=2x          Umkehrfunktion f_u=1/2x

Integration       F(x)=1/3*x^3           Umkehrfunktion F_u=(3x)^(1/3)

Schnittpunkte von F(x) und F_u(x) ergibt:   1/3*x^3=(3x)^(1/3)
x_s1=0 und x_s2=3^(1/2)
Berechnung der eingeschlossenen Fläche der Graphen der Integration und Ihrer Umkehrfunktion:

Integral von 0 bis 3^(1/2) ((3x)^(1/3)-(1/3*x^3)) dx=1,5=A , siehe Bild

Berechnung der eingeschlossenen Fläche der Graphen der Differentiation und Ihrer Umkehrfunktion in den Grenzen der Integration:
Integral von 0 bis 3^(1/2) (2x-1/2x) dx=2,25=B, siehe Bild

A^2=B, diese Aussage ist Allgemeingültig bei einer derartige Konstellation der Gleichungen, mit den entsprechend modifizierten Integrationsgrenzen, was später an einem anderen, komplizierteren Beispiel, nicht heute, noch gezeigt wird.


Ich weiß, dies ist ein arg einfaches Beispiel, der Anschauung wegen gewählt.....! Da ist doch alles in Ordnung, oder?

Comments

Umkehrfunktion:

y= x^2

x= +-√y

vertauschen:

y= +-√x

Für die Umkehrfunktion muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

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Wird doch überhaupt nicht benötigt!

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Umkehrfunktion fu=1/2x

Das ist nicht die Umkehrfkt. von f. Es müsste f 'u lauten.

Answer 1

Deine Rechnungen passen soweit. Allerdings finde ich das Beispiel schlecht gewählt, denn die

eingeschlossene Fläche, der von den Graphen der Differentiation und Ihrer Umkehrfunktion

ist unendlich groß, da sich diese beiden Funktionen gar nicht schneiden. Jetzt wirkt es halt ein bisschen willkürlich, dass du für die Ableitung mit Umkehrfunktion einfach den Schnittpunkt von Integralfunktion und Umkehrfunktion nimmst, um die Fläche zu bestimmen. Ist das so gewollt?