Wahrscheinlichkeit, dass Mittelwert oberhalb von 184 cm

Question

Aufgaben

Nach den Ergebnissen des Mikrozensus sind je 3% der 18-jährigen Männer größer als 192cm
bzw. kleiner als 169 cm. Die Körpergröße sei als näherungsweise normalverteilt angenommen.

(3) Von einhundert 18-jährigen Männern wird die durchschnittliche Körpergröße bestimmt Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Mittelwert oberhalb von 184 cm
liegt.

Problem/Ansatz:

Ich komme mit meinem Wissen über Normalverteilungen nicht weiter. Sobald eine Anzahl gegeben ist (n=100) denke ich immer, dass ich eine binomiale Verteilung annähere. Ich bin bei der Frage nach dem Mittelwert aber überfragt. Ich hatte davor in den Aufgaben raus, dass für die Normalverteilung der Erwartungswert 180,5 ist und die Standardabweichung 6,11. Doch wie berechne ich nun die Mittelwerte allgemein und dann noch, dass er oberhalb von 184 liegt?

Comments

Etwas genauer ist die Standardabweichung ca. 6,1144

Answer 1

Φ((169 - 180.5)/σ) = 0.03 → σ = 6.1144

Der Mittelwert von 100 Personen ist dann normalverteilt mit den Parametern μ = 180.5 und σ = 6.1144/√100 = 0.61144

1 - Φ((184 - 180.5)/0.61144) = 0

Die Wahrscheinlichkeit ist nahezu 0.

Comments

Was genau bedeuten die 0,61144?

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Und wieso ist der Mittelwert von hundert Personen normal verteilt mit Erwartungswerte 180,5… müsste er nicht einfach 180,5 sein?

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Was genau bedeuten die 0,61144?

Das ist die Standardabweichung des durchschnittlichen Gewichts von 100 Personen.

Und wieso ist der Mittelwert von hundert Personen normal verteilt mit Erwartungswerte 180,5… müsste er nicht einfach 180,5 sein?

Wenn du das durchschnittliche Gewicht von 2 Personen nimmst. Also du wählst aus der Menge 2 beliebige Personen. Warum sollte deren durchschnittliches Gewicht bei exakt 180,5 kg liegen. Und warum sollte das durchschnittliche Gewicht von 100 Personen bei exakt 180,5 kg liegen?

100 Zufallsvariablen X1 bis X100 sind verteilt mit N(180.5, 6.1144²).

Wie ist die Summe X1 + X2 + X3 + ... + X100 dieser Zufallsvariablen verteilt.

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Okay danke, aber an einer Stelle hab ich noch Probleme: wieso ist die normalverteilung nicht nur mit 6,11 verteilt? Woher ist die Formel durch Wurzel hundert? Wie kommt sie zu Stande

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Das wird deutlich, wenn du einen Würfel einmal wählst. Dann hast du eine Gleichverteilung im Raum von 1 bis 6.

k	1	2	3	4	5	6
P(X = k)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Betrachtest du den Mittelwert der Augenzahlen beim Wurf zweier Würfel. Dann ist dieser nicht mehr gleichverteilt von 1 bis 6. Könntest du die neue Verteilung ausrechnen?

k	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
P(X = k)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Du siehst also bereits, dass die neue Verteilung eine kleinere Standardabweichung haben muss, weil sich die Verteilung mehr um den Mittelwert konzentriert. Der Mittelwert hat also viel weniger Ausreißer zu den Augenzahlen an den Rändern.

Auf der Seite https://www.klaus-gach.de/dateien/stats/varsumme.pdf findest du z.B. die Herleitung für die Varianz zweier unabhängiger Zufallsvariablen.

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)