Moin bin neu hier :—))
Hätte eine Frage zu einer Aufgabe:
Geg. das rationale Polynom y = x^3 - 2. Dann sei V der Zerfällungskörper von y über den rationalen Zahlen. Die Aufgabe ist es den Grad von V über f zu bestimmen und eine Basis anzugeben.
Dass die dritte Wurzel aus 2 eine Nullstelle von y ist, ist mir klar. Sei a diese.
In der Erweiterung Q(a) zerfällt y also in die Form y = (x-a)(x^2 + ax + a^2)
Nun ist die Frage ob der quadratische Faktor in Q(a) zerfällt. Die Antwort ist nein, denn dann müsste die Determinante -3a^2 ein Quadrat sein. Doch da Q(a) den Grad 3 hat (denn y ist das Minimalpolynom von a vom Grad 3) und das quadratische Polynom den Grad 2 hat so wie ggT(2,3) = 1 gilt, hat der quadratische Faktor keine Nullstellen in Q(a). Also adjungieren wir die Nullstellen des quadratischen Faktors und erweitern auf Q(a,b), wobei b und die Konjugiete von b die Nullstellen des quadratischen Faktors sind.
Dann gilt, weil der quadratische Faktor das Minimalpolynom von b ist, dann dass Q(a,b) über Q(a) den Grad 2 hat.
Also hat insgesamt Q(a,b) den Grad 2*3 = 6 über Q.
Ist das bis hierhin richtig?
Ich weiss jetzt aber nicht wie man eine Basis angibt…
