lim x to 0 von |x| × a^{1/|x|} mit a reell

Question

Hi,

es geht um den oben beschriebenen Grenzwert. Wolfram Alpha sagt, da kommt + inf raus. Aber ich komme einfach nicht auf einen Beweis dafür. Ich habe es schon mit l'Hospital versucht, aber ich komme einfach nicht weiter. Im Internet habe ich auch schon gesucht, aber auch da: Fehlanzeige. Deshalb wollte ich fragen, ob mir jemand beim Beweis des Grenzwertes helfen kann.
LG

Comments

Hmm, sicher, dass das passt?

a müsste schonmal positv sein. Und es macht einen Unterschied ob a>1 oder a≤1

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sicher weiß ich leider nicht, was rauskommt. aber aus der übergeordneten Aufgabenstellung geht auch hervor, dass + inf herauskommen muss.
mein a ist eigentlich ein e^|alpha| mit alpha reell. es ist also >=1. ich könnte aber glaube ich auch alpha !=0 fordern, aber ich sehe nicht, wo du die Fallunterscheidung brauchst... ich habe bei meiner Vorgehensweise nie so eine Unterscheidung machen müssen.
Ich wäre aber über allgemeine Tipps zur Vorgehensweise dankbar. und falls jemand einen Tipp hat, wie man schöner Matheformeln einbinden kann, bin ich ihm auch dankbar :)
LG

Answer 1

Hi,

 

notationstechnisch vielleicht nicht einwandfrei, aber ich würde so vorgehen:

 

0<a≤1:

lim_x->0 |x| * a^1/|x| = 0

Das ist schnell ersichtlich. Der erset Faktor ist klar und der zweite Faktor wird klar, wenn man sich bewusst macht, dass wenn der Exponent gegen unendlich geht, aber die Basis ≤ 1 ist, man das auch schreiben kann als 1/a^{1/|x|} (hierbei ist a > 1) und der Nenner damit sehr groß wird, der Bruch selbst also gegen 0 geht.

Da beide Faktoren gegen 0 gehen, auch das gesamte.

 

a>1:

lim_x->0 |x| * a^1/|x| = ∞

Denn der erste Faktor geht zwar weiterhin gegen 0, aber rechts haben wir eine Potenz. Diese strebt gegen ∞ und der lineare Faktor hat "keine Chance". Wir streben also insgesamt gegen ∞.

 

Grüße

Comments

Hi,
danke nochmals für deine Antwort, da ich meinen oberen Kommentar auf einem Tablett getippt hatte (was recht lange dauert), habe ich die Antwort leider erst nach meinem Kommentar gesehen.
Also wie erwähnt: a ist größer als 1. Und genau um diesen Beweis geht es mir, denn die heuristische Begründung, dass eine Potenz irgendwie schneller wächst, ist mir leider zu ungenügend. Das muss man ja auch sauber herleiten können. Da man dort den Fall "0*inf" hat, habe ich es zu "0/0" bzw. "inf/inf" umgestellt und es mit l' Hospital versucht, aber das geht leider nicht, oder besser: ich habe keine Lösung gefunden. Aber vielleicht hat ja noch jemand eine Idee dazu?
LG

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Das klingt doch genau richtig. Also l'Hospital ;).

 

Ich lass mal den Betrag der Übersicht wegen. Dürfte nichts weiter ausmachen.

lim_x->0 x * a^1/x = lim a^{1/x} / (1/x) = lim e^1/xln(a) / (1/x)

l'Hospital

lim (-a^{1/x}ln(a))/x^2 / (-1/x^2) = lim a^{1/x}ln(a)

Mit a > 1 passt das -> Streben gegen ∞

 

;)

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"Ich lass mal den Betrag der Übersicht wegen. Dürfte nichts weiter ausmachen."

Und wie das was ausmacht: Für a>1 gilt \(\lim\limits_{x\to 0^-}x\cdot a^\frac{1}{x}=0, \lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot a^\frac{1}{x}=\infty.\)

Allerdings ist \(\lim\limits_{x\to 0^-}|x|\cdot a^\frac{1}{|x|}=\lim\limits_{x\to 0^+}|x|\cdot a^\frac{1}{|x|}=\lim\limits_{x\to 0}|x|\cdot a^\frac{1}{|x|}=\infty.\)

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Sry, da hatte ich mich falsch ausgedrückt. Der Teil war mir bewusst. Aber von der Rechnung selbst her. Nur wenn ich überall den Betrag reingenommen hätte, hätte man nichts mehr lesen können...

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Cool. Danke für eure Antworten. Nun der Trick mit e^ln (...) ist mir nicht eingefallen und dann wurde es sehr unschön. Jetzt habe ich es jedoch verstanden.
Danke nochmal :)

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@Nick,
die in der Fragestellung genannte Funktion wird
durch das Betragszeichen achsensymmetrisch zur
y-Achse.
Es genügt also die Betrachtung von
f ( x ) = x * a^{1/x} und x > 0

mfg Georg

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Das ist mir schon klar. Aber so, wie Unknown es geschrieben hatte, ging daraus nicht hervor, dass man x>0, also den rechtsseitigen Grenzwert, betrachtet. Aber er hat ja dann noch gesagt, wie es gemeint war.