Integral mit Substitutionsregel berechnen: ∫ 2x·ln(x^2)

Question

∫₁²2x*ln(x²)

z=x²

1dz=2xdx

1/2xdz

Kann ich jetzt die 1/2xdz vor das Integral ziehen oder nicht? Ich denke nicht, da es eine Konstante ist....

1/2dz*2z*ln(z²)

Substituieren der Grenzen:

∫₁⁴ ....

was ist jetzt mit dieser 1/2zdz und 2x???

Ich möchte nichts falsch machen und Frage deshalb:)

Answer 1

Hi Emre,

 

Kann ich jetzt die 1/2xdz vor das Integral ziehen oder nicht? Ich denke nicht, da es keine Konstante ist....

Du kannst es nicht vor das Integral schreiben, da es keine Konstante ist! ;)

Aber Du hast eine richtige Substitution gewählt.

 

∫₁²2x*ln(x²)

z=x²

1dz=2xdx

dx = 1/(2x)dz

 

Also

∫ln(z) dz

Der Rest kürzt sich ja weg.

Das Integral hattest Du schon mehrfach, deswegen spare ich mir die nun eigentliche part. Integration:

∫ln(z) dz = zln(z) - z + c = x^{2}ln(x^2) - x^2 + c

 

Gut, dann noch die Grenzen einsetzen: ≈ 2,545

 

Übrigens hast Du hier ursprünglich 1 und 2 und dann 1 und 4. Du hast also die Grenzen mitsubstituiert. Das ist gut und Du brauchst keine Resubstiution wie ich. Du wärst mit ∫ln(z) dz = zln(z) - z + c fertig. Also nur noch die neuen Grenzen einsetzen.

Ich selbst ziehe die Methode vor, wo man bei der Substitution selbst die Grenzen weglässt, dann resubstiuiert und die alten Grenzen wieder einsetzt ;). Jedem wies einem beliebt.

Grüße

Comments

Ohhaaaaaa OOooo

Darf ich fragen, wieso Mathecoach ein anderes Ergebnis hat als du? :)

und wie bist du jetzt hier auf: ∫ln(z) dz = zln(z) - z + c = x^2ln(x²) - x² + c

schwarz dick markierte gekommen??

boaahh was für eine Aufgabe Ooooooo

bin jetzt erstmal was essen:)

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Mathecoach hat übersehen, dass Du die Grenzen mitsubstituiert hast und hat diese Grenzen übernommen, statt die eigentlichen Grenzen ;).


Ich habe nur z wieder durch x^2 ersetzt. Also "resubstituiert" ;).


En Guten

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Ahso :)

Ehm noch eine Frage:

was mache ich eigentlich mit 2x??

Deine komplette Rechnung sieht so kompliziert aus Oo aber ich versuchs nachzuvollziehen:)

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Das kürzt sich doch ;).

 

∫₁²2x*ln(x²) dx

Nun wird dx ersetzt durch 1/(2x) dz

∫2x*ln(z) * 1/(2x) dz

 

Das orangene kürzt sich weg.

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Ahh stimmt :)

Ok noch eine letzte Frage...wie bist du auf x^2ln gekommen????

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Du hast doch ein z davor. Das z habe ich wieder durch x^2 ersetzt, wenn Du das meinst ;).

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Ich glaube das meine ich nicht :)

∫ln(z) dz = zln(z) - z + c = x^2ln(x²) - x² + c

also hier wie bist du auf x^2ln(x²)-x²+c gekommen??

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Ich glaube ich habe Dir das jetzt zum vierten Mal gesagt -> Die Substitution war x^2 = z.

 Nun habe ich z wieder durch x^2 ersetzt...


Oder meintest Du, dass das ln oben stand? Das war nur ein Caretkonflikt ;).

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ja ich meinte, dass das ln oben stand ... :)

danke:)

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Kein Ding^^     .

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Kannst du mir mal so eine ähnliche Aufgabe wie diese geben? Ich will mich mal testen, ob ich es auch wirklich verstanden habe

oder kann ich mir einfach eine ausdenken? haha

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Machen wir eine nur relativ kleine Änderung:

 

∫₁²6x^2*ln(x^3)

 

Aber als extra Frage bitte ;). Falls es länger braucht :P.

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Weyoo:(

ich machs bestimmt wieder falsch:)

ok kannst du mir noch eiiiiinnn tipp sagen:

6x² muss ich das integrieren?? weil beim obigen haben die sich ja weg gekürzt also x

ja mach ich:)

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Tipp: Hier genau das gleiche Vorgehen wie oben tun^^.

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Ohh hmmmmm na dann mal sehen ob ich es komplett richtig schaffe ^^

bis gleich:)

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Kannst du mir sagen, was da raus kommt?? Ich hab zwar was, aber weß nicht obs stimmt....will mich jetzt auch nicht blamieren:D

nach so vielen Erklärungen immer noch falsch ist, dann schäme ich mnich...deshalb kannst du mal sagen, was da raus kommt?:D

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Nene, mach nur mal ;).

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oh eine das ist sowieso falsch:(

man ich werde das nie können´:(

ich bin zu blöd

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Kann ich erst beurteilen, wenn Dus postest ;).

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Ich sag dir einfach mal was ich da raus hab: ≈ 2.079

wenns falsch ist, mache ichs nochmal neu

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Passt leider nicht.


Aber wenn Du es einfach zeigst, ist es für mich einfacher, als zu Raten ;P.

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Machs nochmal neu und berechne mal mit Wolframalpha :)

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aber ich komme mir immer so dumm vor...du und mathecoach und alle anderen habt es mir schon mehrfach gezeigt und ich muss es doch mal langsam verstehen .....  (ist nicht böse gemeint :)) also nicht falsch verstehenn... es liegt man mir ^^

ich quäl mich jetzt hier durch...auch wenn es bis morgen früh dauert..hab sowieso ferien ^^

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Nun, Du würdest wohl kaum hier fragen, wenn Du bereits alles können würdest. Mathecoach und ich hatten einige Zeit das immer und immer wieder zu tun. Das prägt ein. Erfahrung ;).

Und...aus Fehler lernt man!

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Hast auch wieder Recht :)

Na gut dann poste ich es mal als eine neue Frage :)

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Ich selber habe damals sowas über Wolframalpha geübt. D.h. Ich hatte eine Lösung von Wolframalpha und wusste dann schon mal wo ich hin will. Das ist immer schon ein Vorteil, wenn man das weiß. Außerdem gibt es bei Wolframalpha noch die Schritt für Schritt Lösung. Momentan allerdings nur auf dem Handy oder über den PC mit Trick 17.

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Ja ich glaube so sollte ich das auch mal in Zukunft machen:)+

lol Wolframalpha zeigt mir was mit log??

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Der dortige "log" ist "ln" ;).

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LOG ist bei Wolframalpha der LN. Weil für die richtigen Mathematiker gibt es nur den LN und dann kann man den auch LOG nennen.
Allerdings sind echte Mathematiker sehr faul und die schreiben dann eigentlich LN statt LOG weils 1 Buchstabe weniger ist :)

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Hahaha wie faul Mathematiker sind ...auch bei einem Mal zeichen also einen Punkt sind die zu faul:)

Danke an euch beide für den Hinweis :)

Answer 2

Kleiner Tipp: Berechne zuerst immer nur die Stammfunktion und danach das bestimmte Integral. 

∫ 2x * ln(x^2) dx 

Substitution
z = x^2
1 dz = 2x dx
dx = 1/(2x) dz

∫ 2x * ln(z) * 1/(2x) dz

∫ ln(z) dx

z * (ln(z) - 1)

Resubstitution

F(x) = x^2 * (ln(x^2) - 1)

∫ (1 bis 2) 2x * ln(x^2) dx = F(4) - F(1) = (8·LN(2) - 4) - (-1) = 8·LN(2) - 3 = 2.545

Comments

Eigentlich verstehe ich das ja, aber ich komme immer durcheinander, weil ihr nicht 2x dazu schreibt??

ihr schreibt nur: ∫ln(z) dx = z*ln(z)-1)

aber wo ist die 2x??

und ja ich meine 2x integriert ist x²

und warum hat man dann wieder da ganz unten: ∫ (1 bis 4) 2x * ln(x²) dx

2x?? weil man resubstiuiert hat?

 

tut mir leid wenn ich viel Frage:)

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Ich habe das oben noch etwas ausführlicher aufgeschrieben. Und auch die richtigen Grenzen genommen.