Beweisaufgabe zu Gruppen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( (G, *, e) \) eine endliche Gruppe. Zeigen Sie:
(i) Für jedes \( a \in G \) gibt es ein \( k \in \mathbb{N} \) mit \( a^{-1}=a^{k} \).
(ii) Für eine Teilmenge \( M \subseteq G \) mit \( M \neq \emptyset \) vereinfacht sich Satz 2.1.24 wie folgt:
\( \langle M\rangle=\left\{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}: n \in \mathbb{N}, \forall i \in\{1, \ldots, n\}: a_{i} \in M\right\} . \)

Text erkannt:

Satz 2.1.24 Für \( \emptyset \neq M \subseteq G \) gilt
\( \langle M\rangle=\left\{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \mid n \in \mathbb{N}, a_{i} \in M \text { oder } a_{i}^{-1} \in M\right\}, \)

Hallo, kann mir bitte jemand bei der ii) helfen? Die i) habe ich schon gelöst.

Kann mir evtl. jemand allgemein noch erklären was dieser Satz aussagt? Ich verstehe es nicht wirklich.

Comments

Crosspost (siehe FAQ)

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und auch anderswo schon beantwortet.

Answer 1

Kann mir evtl. jemand allgemein noch erklären was dieser Satz aussagt? Ich verstehe es nicht wirklich.

Klar.

Eine Zeichenkette \(a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n\) für ein \(n\in\mathbb{N}\) und alle \(a_i\in M\) nennt sich ein Wort in \(M\). Dabei heißen \(a_i\) die Buchstaben des Wortes und \(n\) die Länge.

Satz 2.1.24 sagt aus: Die von \(M\) erzeugte Gruppe \(\langle M\rangle\) (die kleinste Untergruppe von \(G\), die alle Elemente von \(M\) enthält) lässt sich darstellen durch die Wörter in \(M\cup M^{-1}\). Also für jedes \(x\in\langle M\rangle\) gibt es ein Wort, bestehend aus Buchstaben, die in \(M\) liegen oder Inverse von Elementen in \(M\) sind, das dieses Element beschreibt.

(Diese Darstellung ist nicht eindeutig!)

Ein einfaches Beispiel: Die Untergruppe \(\mathbb{Z}\) von \(\mathbb{R}\) (beides mit Addition interpretiert) ist erzeugt von dem Element \(1\), sprich \(\mathbb{Z}=\langle 1\rangle\), da du zum Beispiel \(5=1+1+1+1+1\) und \(-3=1^{-1}+1^{-1}+1^{-1}\) (beachte: additive Inverse) schreiben kannst.

Die Übung sagt einfach aus, dass du im Falle einer endlichen Gruppe \(G\) die Inversen nicht als Buchstaben brauchst. Sprich: Jedes Element \(x\in \langle M\rangle\) lässt sich schreiben als Wort in \(M\).

Die Beweisidee ist ganz einfach: Nimm dir für ein beliebiges \(x\in \langle M\rangle\) wie in Satz 2.1.24 ein Wort für \(x\), das auch eventuell einige Inversen benutzt. Jetzt kannst du aber einfach jedes Inverse \(a^{-1}\) eines Buchstabens \(a\) in \(M\) austauschen durch eine Potenz \(a^k\), so lange, bis du nur noch Buchstaben in \(M\) hast.