Aufgabe:
Text erkannt:
Die Funktion h gehört zur Schar der in IR definierten Funktionen \( h_{a} \) mit \( h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot e^{x} \) und \( a \in \mathbb{R}^{+} \). Der Graph von \( h_{a} \) wird mit \( H_{a} \) bezeichnet.
d) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes \( a \in \mathbb{R}^{+} \)die Funktionswerte von \( h_{a} \) genau für \( -\sqrt{a}<x<\sqrt{a} \) positiv sind.
e) Es gibt einen Wert von a, sodass das Produkt der x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \( \mathrm{H}_{\mathrm{a}} \) gleich dem Produkt der y-Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Berechnen Sie diesen Wert von a.
Die Schnittpunkte von \( \mathrm{H}_{\mathrm{a}} \) mit der x-Achse und der Hochpunkt von \( H_{a} \) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Dieses Dreieck rotiert um die x-Achse.
Die in \( \mathbb{R}^{+} \)definierte Funktion \( v \) gibt das Volumen dieses Rotationskörpers in Abhängigkeit von a an. Abbildung 2 zeigt drei Graphen \( \mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2} \) und \( \mathrm{G}_{3} \), von denen einer die Ableitungsfunktion \( \mathrm{v}^{\prime} \) von \( v \) darstellt.
Beurteilen Sie ohne Rechnung und unter Verwendung der Tatsache, dass die y-Koordinate des Hochpunkts von \( \mathrm{H}_{\mathrm{a}} \) umso größer ist, je größer der Wert von a ist, welcher Graph dies ist.
Problem/Ansatz:
Bei der letzten Frage (Beurteilen Sie…) komme ich nicht weiter. Teil d) und e) habe ich gelöst und den Text mit kopiert, da ich nicht weiß, ob die Ergebnisse vielleicht benutzt werden.
