Habe ich alle Lösungen der folgenden Gleichungen gefunden?

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichungen

(2z+3)³=-27i

Problem/Ansatz:

ist meine Lösung richtig?

z1= 3i
z2= $$-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$$
z3= $$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$$

Answer 1

Deine Lösungen sind nicht richtig.

Mache die Probe an deiner ersten Lösung "z=3i".

(2·3i+3)³ ist nicht -27i.

Answer 2

Vorsicht, du hast nicht die angegebene Gleichung gelöst, sondern die Gleichung

\(w^3=-27\mathrm{i}\) (ich nutze bewusst \(w\) statt \(z\)).

Das ist aber überhaupt nicht schlimm, denn durch die Substitution \(w=2z+3\) kannst du die Lösungen nun bestimmen, indem du jeweils \(w=z_1\) usw. löst. Das ist nun aber relativ einfach.

Answer 3

Du hast nur die Gleichung

z^3 = -27 i gelöst

Hier eine Kontrolllösung von meinem Freund Wolfram

Answer 4

Nein. Du kannst zum einen selbst die Probe machen (einsetzen, prüfen), zum anderen selbst die Lösungen mit wolframalpha berechnen und vergleichen (hab ich gemacht).

Wenn Du wissen willst, wo Dein Fehler ist, lade Deine Rechnung hoch.

Comments

Text erkannt:

c) \( (2 z+3)^{3}--27 \) i
\( w \cdot 2 z+3 \)
\( \omega=|\omega| t \underbrace{(\cos \rho-\sin \rho)}_{e^{r i}} \quad \) Bbariform
()
for \( k \cdot 0: w_{0} \cdot 3 \cdot e^{i} \)
\( =3 \cdot\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{p_{2}}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{4_{2}}\right)\right) \)
\( -3 \cdot(0+i 1)=3 i=z_{1} \)
for \( k \cdot 1: \omega_{1}=3 \cdot\left(\cos \left(\frac{3 \pi+4 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi+40}{6}\right)\right. \)
\( =3 \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i-\left(\frac{1}{2}\right)\right) \)
\( =3 \cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2} i\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} i=z_{2} \)
for \( k=2: \omega=3 \cdot\left(\cos \left(\frac{7 \pi+8 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi+8 \pi}{6}\right)\right. \)
\( \cdot 3 \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right) \)
\( =3 \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \cdot i\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} i \cdot z_{3} \)
(1)

---

@justiiina

Wie bereits hier gesagt, fehlt deine Rücksubstitution. Du hast Lösungen für

w = 2·z + 3

Daraus musst du nur noch die Lösungen für z machen

2·z + 3 = w
2·z = w - 3
z = 1/2·w - 3/2

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Du hast die 3 w's richtig bestimmt, musst sie nur noch umrechnen in die z's. Dein \(w_0=z_1\), usw. ist nicht die richtige Umrechnung, denn wie Du selbst notiert hast, gilt ja \(w=2z+3\).

Schaffst Du das?

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Ja, bin schon auf die richtige Lösung gekommen. Vielen Dank! :)