Bestimme das Verhältnis |FH|/|HG| .

Question

Um die Ecken A, B und C des gleichseitigen Dreiecks ABC werden Kreise mit jeweils dem Radius |$\overline{AB}$ | geschlagen. Die drei Kreise schließen das sogenannte Reulaux-Dreieck ABC ein. Die Spitze DEC des gleichseitigen Dreiecks ABC wird auf halber Höhe abgetrennt und um C gedreht, bis eine Ecke auf dem Rand des Reulaux-Dreiecks liegt. Es entsteht das Dreieck FGC. H ist der Schnittpunkt von DE und FG. Bestimme das Verhältnis |$\overline{FH}$ |/|$\overline{HG}$ | .

Comments

Die meinerseits erwartete Antwort von Moliets würde mit dem Prädikat 'Beste' ausgezeichnet.

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Sollte die Farbe der gesuchten Strecken nicht eher ‚golden‘ sein?

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Alternative 1 :

 

Mit α = ∠CBJ wird sin α = 1/4 und β = ∠FCH = 45° - α/2 sowie γ = ∠HCG = 15° + α/2.
Der Sinus-Satz liefert nun m / sin β  =  HC / sin 60°  =  n / sin γ , woraus m/n = sin (45° - α/2) / sin (15° + α/2) und mit einigen Additionstheoremen m/n = Φ folgt.

Alternative 2 :

Die Gerade AH erzeugt das gleichseitige Dreieck ΔHGK.
Aufgrund der Ahnlichkeit der Dreiecke ΔLDC und ΔKHF und wegen DC/LD = Φ folgt m/n = Φ

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Sehr schöne alternative Beweise.

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Da du die "Beweise" so schön findest, kannst du dich auch noch damit beschäftigen :

Alternative 3 :

Verschiebe das Dreieck ΔFGC um den Vektor $\vec{m}=\vec{FH}$ zu ΔHG'C'.
Es entstehen die Parallelogramme ▢FHC'C und ▢GG'C'C mit den Diagonalen d=FC' und e=GC'.
Für diese gilt d/e = Φ und die Winkelhalbierende w = C'H zwischen ihnen teilt die gegenüberliegende Seite im Dreieck ΔFGC' im gleichen Verhältnis.

Answer 1

1.  Geradengleichung durch A mit der Steigung $m=\tan(60°)= \sqrt{3}$  und Geradengleichung durch B mit der Steigung$m=-\tan(60°)= -\sqrt{3}$ ergeben C.

2.   Kreis $e$  um B   mit \overline{BC} als Radius. Auf diesem Kreis liegt auch $F$

3.  Mittelsenkrechte auf \overline{AC}  gibt den Punkt D

4.  Kreis $d$ um C mit $r=\overline{CD}$ gibt $F$

5.  Die Parallele zur x-Achse durch D schneidet $\overline{BC}$ in  E. Auf ihr liegt auch $H$

6.  Kreis um F mit $r=\overline{FC}$  und  Kreis um C mit $r=\overline{FC}$ schneiden sich in G

7. Die Gerade durch F und G schneidet die  Parallele zur x-Achse in H

8. Nun die Abstände von H zu F und von H zu G bestimmen

9. $|\overline{FH}| / |\overline{HG} |$

Comments

Nun die Abstände von H zu F und von H zu G bestimmen.

Genau das ist ja die Aufgabe bzw. Nachher noch den Quotienten aus den Abständen bilden. Und das soll sicher nicht mit Lineal geschehen, sondern rechnerisch exakt.

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Du solltest auf

$\displaystyle \quad \frac{\overline{FH\vphantom{^{M}}}}{\ \overline{HG\vphantom{^{M}}}\vphantom{^{M}} \ } = 2 \cdot \sin(0,3 \, \pi)$

kommen. Einverstanden?