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Um die Ecken A, B und C des gleichseitigen Dreiecks ABC werden Kreise mit jeweils dem Radius |\( \overline{AB} \) | geschlagen. Die drei Kreise schließen das sogenannte Reulaux-Dreieck ABC ein. Die Spitze DEC des gleichseitigen Dreiecks ABC wird auf halber Höhe abgetrennt und um C gedreht, bis eine Ecke auf dem Rand des Reulaux-Dreiecks liegt. Es entsteht das Dreieck FGC. H ist der Schnittpunkt von DE und FG. Bestimme das Verhältnis |\( \overline{FH} \) |/|\( \overline{HG} \) | .

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Die meinerseits erwartete Antwort von Moliets würde mit dem Prädikat 'Beste' ausgezeichnet.

Sollte die Farbe der gesuchten Strecken nicht eher ‚golden‘ sein?

Alternative 1 :

r0.png  

Mit α = ∠CBJ wird sin α = 1/4 und β = ∠FCH = 45° - α/2 sowie γ = ∠HCG = 15° + α/2.
Der Sinus-Satz liefert nun m / sin β  =  HC / sin 60°  =  n / sin γ , woraus m/n = sin (45° - α/2) / sin (15° + α/2) und mit einigen Additionstheoremen m/n = Φ folgt.


Alternative 2 :

r02.png

Die Gerade AH erzeugt das gleichseitige Dreieck ΔHGK.
Aufgrund der Ahnlichkeit der Dreiecke ΔLDC und ΔKHF und wegen DC/LD = Φ folgt m/n = Φ

Sehr schöne alternative Beweise.

Da du die "Beweise" so schön findest, kannst du dich auch noch damit beschäftigen :

Alternative 3 :

r5.png

Verschiebe das Dreieck ΔFGC um den Vektor \( \vec{m}=\vec{FH} \) zu ΔHG'C'.
Es entstehen die Parallelogramme ▢FHC'C und ▢GG'C'C mit den Diagonalen d=FC' und e=GC'.
Für diese gilt d/e = Φ und die Winkelhalbierende w = C'H zwischen ihnen teilt die gegenüberliegende Seite im Dreieck ΔFGC' im gleichen Verhältnis.

Die Kunst, schöne geometrische Beweise zu finden. hängt sehr oft vom Einführen geeigneter Hilfslinien ab. In der Entdeckung von solchen Hilfslinien bist du ein Meister.

1 Antwort

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Unbenannt.JPG

1.  Geradengleichung durch A mit der Steigung \(m=\tan(60°)= \sqrt{3} \)  und Geradengleichung durch B mit der Steigung\(m=-\tan(60°)= -\sqrt{3} \) ergeben C.

2.   Kreis \(e\)  um B   mit \overline{BC} als Radius. Auf diesem Kreis liegt auch \(F\)

3.  Mittelsenkrechte auf \overline{AC}  gibt den Punkt D

4.  Kreis \(d\) um C mit \(r=\overline{CD}\) gibt \(F\)

5.  Die Parallele zur x-Achse durch D schneidet \(\overline{BC}\) in  E. Auf ihr liegt auch \(H\)

6.  Kreis um F mit \(r=\overline{FC}\)  und  Kreis um C mit \(r=\overline{FC}\) schneiden sich in G

7. Die Gerade durch F und G schneidet die  Parallele zur x-Achse in H

8. Nun die Abstände von H zu F und von H zu G bestimmen

9. \( |\overline{FH}| / |\overline{HG} |\)

Avatar vor von 42 k
Nun die Abstände von H zu F und von H zu G bestimmen.

Genau das ist ja die Aufgabe bzw. Nachher noch den Quotienten aus den Abständen bilden. Und das soll sicher nicht mit Lineal geschehen, sondern rechnerisch exakt.

Du solltest auf


\(\displaystyle \quad \frac{\overline{FH\vphantom{^{M}}}}{\ \overline{HG\vphantom{^{M}}}\vphantom{^{M}} \ } = 2 \cdot \sin(0,3 \, \pi) \)


kommen. Einverstanden?

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