Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten 3.

Question

Ich bitte um einen Tipp oder den ersten Schritt, wie ich x  z.B. durch das Additionsverfahren eliminieren kann. Nur einen Ansatz, den Rest würde ich gerne machen.

$$ \left| \begin{array} { l } { \frac { a } { b x } + \frac { b } { a y } = a + b } \\ { \frac { b } { x } + \frac { a } { y } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \end{array} \right| $$

Comments

substituiere 1/x mit u und 1/y mit v, so hast du

a/b * u   + b/a * v = a+b
 b* u      + a*v = a^2 + b^2

Wenn du u und v raushast einfach die Rücksubstitution nicht vergessen und die Kehrwerte von u und v bilden.

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Die Aufgabe soll mit den Fertigkeiten lösbar sein, die ich bisher im Verlauf des Buches kennengelernt habe. Substitution gehörte bisher nicht dazu. Damit werde ich mich auch erst später auseinandersetzen.

Kennst du eine andere Möglichkeit, mit der ich die zwei Terme so umformen kann, sodass x in beiden gleich ist, sodass ich das Additionsverfahren anwenden kann?

 

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Dank Mathecoachs ersten Schritt und Unknowns Erläuterung dazu habe ich die Aufgabe lösen können.

Abgesehen von meiner idiotensicheren ausführlichen Herleitung von x erscheint mir der erste Teil zu viel. Ich habe manchmal das Gefühl, dass mir das geschickte Kürzen, Ausklammern etc. fehlt.

1. Gibt es denn keine andere geschickte Möglichkeit? (Substitution ausgenommen) Dass ich z.B. von a² auf a^4 komme, finde ich irgendwie zu viel ...

2. Als ich x Auflösen wollte, habe ich es zuerst mit den Einsetzen in den 2. Term versucht, am Ende kam ich dabei auf

x = b /(a² + b² - 1)

Wie komme ich von da bitte auf x = 1/b?

Answer 1

a/(b·x) + b/(a·y) = a + b
b/x + a/y = a^2 + b^2

I - a/b^2 * II

Kontroll-Lösung: x = 1/b ∧ y = 1/a

Comments

I - a/b² * II

Kannst du diesen Schritt nochmal umschreiben bitte?

Also nicht inhaltlich, ich versteh die Operation formal nicht.

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Hi,

Mathecoach besagt hier nichts anderes, als dass er seine erste Gleichung als (I) bezeichnet und die zweite als (II).

Dann hat er die zweite Gleichung mit a/b^2 erweitert. Danach wird diese neue, erweiterte zweite Gleichung von der ersten Gleichung abgezogen.


Schön ist die Rechnung allerdings nicht.

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Achso! Jetzt verstehe ich!

Und wie würde dein erster Schritt aussehen, um es "schöner" zu machen?

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Substitution, wie von Lu vorgeschlagen ;).

Wenn das nicht erlaubt ist, würde ich wohl diese neue Gleichung (nenne wir sie mal (III)) mit dem Hauptnenner multiplizieren. Aber da habe ich mich auf dem Papier gerade vertan. Vielleicht kommst Du auf das von Mathecoach genannte Ergebnis.

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Danke. Die Lösung ist richtig, da diese auch so im Lösungsheft steht.

Answer 2

Hi,


das sieht doch schon sehr gut aus! Habe auch gleich meinen eigenen Fehler gefunden, den ich vorher angemerkt hatte^^.


Sehe eigentlich nur einen Punkt, wo man abkürzen kann. Und zwar ist Deine Polynomdivision unnötig. Man hätte direkt erkennen können und sollen, dass man hier a ausklammern kann im Nenner und dann kürzt sich das wunderbar weg ;).


x = b /(a² + b² - 1) da kommt man nicht auf x = 1/b. Da hast Du falsch gerechnet ;).


Grüße

Comments

hahaha, du hast völlig Recht. "Ich habe manchmal das Gefühl, dass mir das geschickte Kürzen, Ausklammern etc. fehlt." q.e.d habe ich wohl auch gleich bewiesen.

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Das ist Mathematik -> Eine gemachte Aussage sogleich beweisen :D.

Nächstes mal nur noch ein q.e.d. darunter setzen^^ (quod erat demonstrandum: was zu beweisen war)


Gerne

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Habe ich gleich ergänzt!
"2. Als ich x Auflösen wollte, habe ich es zuerst mit den Einsetzen in den 2. Term versucht, am Ende kam ich dabei auf

x = b /(a² + b² - 1)

Wie komme ich von da bitte auf x = 1/b?"

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Dein Fehler liegt schon bei der ersten Umformung.

Du sagst hier (im Nenner) prinzipiell nichts anderes als 1/a = 1*a.

Das stimmt im Allgemeinen natürlich nicht!


Löse den Doppelbruch auf, in dem Du mit dem Kehrwert multiplizierst! ;)

a/(1/a) = a*(a/1) = a*a = a²


Der Rest sollte dann kein Problem mehr sein? ;)

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Aaah, Denkfehler.

Der rührt daher, Beispiel:

2/4/6 = 2/(4*6) = 1/12

2/(4/6) = 3

Ich bin wie im ersten Term vorgegangen, dabei ist es der 2.

Danke.

Answer 3

Du bekommst nach dem Subtrahieren der Gleichungen

b/(a·y) - a^2/(b^2·y) = b - a^3/b^2

Bringe mal beide Seiten auf den Hauptnenner und auf einen Bruch

b^3/(a·b^2·y) - a^3/(a·b^2·y) = b^3/b^2 - a^3/b^2

(b^3 - a^3)/(a·b^2·y) = (b^3 - a^3)/b^2

1/(a·b^2·y) = 1/b^2

a·b^2·y = b^2

a·y = 1

y = 1/a

Comments

War ja klar, dass du wieder so jonglierst.

Vielen vielen Dank.

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Durch welche Operation vollführt man eigentlich den Übergang zwischen diesen beiden Schritten?
1/(a·b²·y) = 1/b²

a·b²·y = b²

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1/(a·b²·y) = 1/b²  |beidseits Kehrwert

a·b²·y = b²