Berechne die maximal mögliche Fläche eines Rechtecks im 1.Quadranten. (Extremwertaufgabe)

Question

Der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r = 4 befindet sich im Koordinatenursprung.

Berechne die maximal mögliche Fläche eines Rechtecks im 1.Quadranten.

mfg Georg

* Extremwertaufgabe für Mitglied aznulove

Comments

Interessant .-)

Kann es sein, dass man als Lösung figurmäßig ein Quadrat herausbekommt?

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den Umfang bekomm ich ja raus indem ich

U = 2 r * Pi

U = 2 * 4 * Pi = 25.13


ich weiss aber dann nicht wie ich weiter vor gehen soll noch ein tipp bitte.. wenn das da oben überhaupt stimmt

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Du brauchst die Fläche des Rechtecks nicht die Bogenlänge.

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Bitte Aufgabenstellung von Georg genau durchlesen. Er hat auf sehr anschaulicher Art und Weise in der unteren Skizze das zu lösenden Problem aufgezeichnet .-)

Kleiner Tipp: Versuche die Kurve im Koordinatensystem mathematisch zu beschrieben.

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In der unteren Skizze sieht du den 1.Quadranten ( Viertelkreis ).
Eingezeichnet ist ein Rechteck mit gestrichelten Linien.
Es gilt das größtmögliche Rechteck zu ermitteln.
Die Fläche eines Rechtecks wird ermittelt mit
Länge mal Breite.
Die Länge dieses Rechtecks ist die Strecke x.
Die Breite ( oder Höhe ) ist der Funktionswert f ( x ) an
der Stelle x.
Fläche = x * f ( x )
Du mußt dir jetzt Gedanken machen wie du auf den
Funktionswert f ( x ) kommst.
Tip : Pythagoras
Bei Fragen wieder melden.
Wir schaffen das.
mfg Georg

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ja ich kann jetzt am besten es mit einem dreieck lösen da r = 4 ist und y und x fehlt
aber r ist ja radius wie kann ich denn die ecken so haben das ich grad errechne ? ich hab ja radius = 4

oder kann ich das auch als länge nehmen ..?! ich hab keine ahnung ehrlich

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fläche  / x = f(X)
aber ich hab weder x noch fläche

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Na aber du hast ja
Fläche a(x) = x * f(x).

Jetzt brauchst du da noch f(x) einzusetzen.
f(x) = √ (r^2 - x^2)

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f(x) = √( 4² - x²⁾

         = √(16 - x²)

aber wurzel darf ich ja jetzt nicht ziehen da ich ja noch x² hab .. sind das formeln die ihr habt oder einfach halt mal so umgesetzt das es sinn macht.. ich will auch so lernen das es sinn macht und nicht immer so sinnlos alles auswendig lernen.. 

das ist glaub ich eine recht einfache aufgabe die ich nicht hin bekommen :D shame ^^ 

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Nicht aufgeben, das gelingt schon

f(x) = √(16 -x²) kann man sich herleiten über die Polarkoordinaten oder man weiß es auswendig .-)

cosα = x/r und sinα = f(x)/r , wobei α der Winkel zwischen x-Achse und r ist.

Nun nimm den trigometrischen Pythagoras, setzte cos und sin ein und du bekommst ein aufschlussreiches Ergebnis.

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Auswendig lernen ist auch nur begrenzt möglch.
Du brauchst mathematisches Grundwissen das du
dann in den jeweiligen Aufgaben anwendest.

Wir haben : 1 rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten
r : Hypotenuse = 4
x : Kathete ( der x Wert ist variabel und geht von 0 bis 4 )
y : Kathete ( der y-Wert ist eine Funktion des x-Werts )

Rechtwinkliges Dreieck
r^2 = x^2 + y^2
y^2 = r^2 - x^2
y = sqrt ( r^2 - x^2 )
Die Fläche ist
A ( x ) = x * y ( noch 2 Unbekannte oder Variable )
Jetzt setzen wir für y = sqrt ( r^2 - x^2 ) ein.
A ( x ) = x * sqrt ( r^2 - x^2 )
Die Fläche ist nur noch eine Funktion von x
A ( x ) = x * sqrt ( 16 - x^2 )
Im nächsten Schritt werden wir die 1.Ableitung der
Funktion bilden. Bisher alles verstanden ?
mfg Georg

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Bepprich,
bitte nichts krumm nehmen. Nichts für ungut:
Ich möchte auch anzulove nicht vorgreifen, denn
für den hast du die Antwort ja geschrieben:

" (x) = √(16 -x²) kann man sich herleiten über die Polarkoordinaten oder man weiß es auswendig .-)
cosα = x/r und sinα = f(x)/r , wobei α der Winkel zwischen x-Achse und r ist.
Nun nimm den trigometrischen Pythagoras, setzte cos und sin ein und du bekommst ein aufschlussreiches Ergebnis. "

Warum nicht den einfacheren Weg über den Pythagoras ?
Siehe meine Antwort.
Deine Antwort setzt voraus das dem Fragesteller " Polarkoordinaten  und
trigometrischen Pythagoras " bekannt sind.
Du setzt ein Wissen voraus das der Fragesteller todsicher nicht hat.

Wie gesagt ich will der Reaktion von aznulove nicht vorgreifen.
Nichts für ungut. Ich meine es gut.

mfg Georg

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yep verstanden .. wir haben die NB in die HB gesetzt ... das sind ja dann die A ( x ) = x * sqrt ( r² - x² )

also auflösen nach x und dann ableiten.. eine frage was ist dieses sqrt? ist mir neu 

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sqrt  habe ich so aus Gewohnheit geschrieben

square-root = Quadratwurzel also √

Jetzt kommt ein etwas schwierigerer  Teil :
das Bilden der 1.Ableitung.

A ( x ) = x * sqrt ( r² - x² )
[ A ( x ) ] ´ = [ x * sqrt ( r² - x² ) ] ´

Kennst du die Produktregel, Ableitung eines
Wurzelausdrucks. Kann du den 1.Ableitung alleine
bilden ?

mfg Georg

 

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die wurzel ist mir neu 

 

A ( x ) = x * sqrt ( r² - x² ) 

A ( x ) = √x r²  √x³ 

A ´( x ) = √2x 2r  √3x²

oder ? 

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Jetzt kommt erschreckendes

A ( x ) = x * √ ( 16 - x² )
A´( x )  = 1 * √ ( 16 - x^2 ) + x * (-2 * x ) / ( 2 * √ ( 16 - x^2 ))
A´( x ) =  √ ( 16 - x^2 ) - x^2  / √ ( 16 - x^2 )
A ´( x ) = ( 16 - x^2 - x^2 ) /  ( 16 - x^2 )
A ´( x ) = ( 16 - 2 * x^2 ) /  ( 16 - x^2 )

Als ich die Aufgabe eingestellt habe dachte ich das
Differenzieren wäre einfacher. Ich bin zerknirscht.

Um den Extremwert herauszufinden setzen wir
A ´( x ) = 0
Der Bruch auf der rechten Seite wird 0 wenn der Zähler
null wird.
16 - 2 * x^2 = 0
2 * x^2 = 16
x^2 = 8
x = √ 8

Bei Fragen wieder melden.
Ich stelle auch gern ein weiteres ( leichteres ) Beispiel
hier herein.

mfg Georg
 

 

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mit wurzel kommt es mir neu vor .. ich guck mir die gleich genauer an ^^  hmm mach mal noch eins danach aber ich will mir das erst angucken bin erst kurz weg bis danach

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Eine  einfachere Aufgabe findest du unter

https://www.mathelounge.de/110473/extremwert-ii-fur-anzulove

mfg Georg

Answer 1

Ich versuche es einfach mal, ob es richtig ist. wissen die Experten .-)

Den funktionellen Zusammenhang von x und y bei einem Kreis kann man allgemein wie folgt beschreiben:

y² + x² = r² = 16

Die Fläche x*y soll maximal werden -> Extremwertaufgabe

Zielfunktion Z  = x*y

Zielfunktion Z = x*√16-x²

1. Ableitung der Zielfunktion Z nach Produktregel (u*v = u'v + uv')

u = x und v = √16-x² bzw. u' = 1 und v' = -x/√16-x² -> Z' = (-2x² +16)/√16-x²

Z' (x) = 0 -> -2x² +16 = 0 -> x_1/2 = ±√8

Da der 1. Quadrant nur positive x-Werte besitzt, kommt für x nur +√8 in Frage.

Nun müssen wir noch die 2. Ableitung von der Zielfunktion Z bilden und prüfen, ob diese für x = √8 kleiner als Null ist. Dann liegt ein Maximum vor.

Die Herleitung der 2. Ableitung erspare ich mir und schreibe die 2. Ableitung hin:

Z''(x) = (2*x*√16-x²)*(x² - 24)/(x² -16)

Z''(√8) < = -> Max.

Nun noch den gefundenen Extremwert für x in die Kreisgleichung einsetzen und wir erhalten f(x) = y = √16-(√8)² =√8

Pmax = (√8|√8)

Comments

Den funktionellen Zusammenhang von x und y bei einem Kreis kann man allgemein wie folgt beschreiben:

y² + x² = r² = 16

Die Fläche x*y soll maximal werden -> Extremwertaufgabe

Zielfunktion Z  = x*y

Zielfunktion Z = x*√(16-x²)

1. Ableitung der Zielfunktion Z nach Produktregel (u*v = u'v + uv')

u = x und v = √(16-x²) bzw. u' = 1 und v' = -x/√(16-x²) -> Z' = (-2x² +16)/√(16-x²)

Z' (x) = 0 -> -2x² +16 = 0 -> x_1/2 = ±√8

Da der 1. Quadrant nur positive x-Werte besitzt, kommt für x nur +√8 in Frage.

Nun müssen wir noch die 2. Ableitung von der Zielfunktion Z bilden und prüfen, ob diese für x = √8 kleiner als Null ist. Dann liegt ein Maximum vor.

Die Herleitung der 2. Ableitung erspare ich mir und schreibe die 2. Ableitung hin:

Z''(x) = (2*x*√(16-x²))*(x² - 24)/(x² -16)

Z''(√8) < = -> Max.

Nun noch den gefundenen Extremwert für x in die Kreisgleichung einsetzen und wir erhalten f(x) = y =  

√(16-(√8)²) =√8

Pmax = (√8|√8)