7 Fragen, die entweder mit ja oder mit nein zu beantworten sind. Für jede richtige Antwort erhält man 2 Punkte, für jede falsche 3 Minuspunkte. Man kann Fragen auch unbeantwortet lassen (0 Punkte). Zur Auswertung wird die Punktsumme S bestimmt. Ist S positiv, so wird die Gesamtaufgabe mit S Punkten bewertet, sonst mit 0 Punkten.
Bei Fragen, deren Beantwortung man nicht kennt, hat man die Wahl zwischen Strategie l, die Frage unbeantwortet zu lassen, und Strategie 2, eine Antwort zu raten.
Bestimmen Sie für die folgenden 3 Studenten den Erwartungswert für die Punktzahl bei der Strategie 2 (Rate-Strategie) und vergleichen Sie diese mit der Strategie l. Entwerfen Sie jeweils einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Zufallsvariablen zur Beschreibung der erreichten Punktzahl.
Alice kann die Fragen 1 bis 5 sicher beantworten und ist bei den Fragen 6 und 7 völlig ratlos.
Strategie 2. E(Punktzahl)= 5*2 Punkte + 1/4 (- 6 -1 -1 + 4) = 10 + 0.25 *(-4) = 9
(- 6 (beide falsch) -1(erste falsch, zweite richtig) -1(erste richtig, zweite falsch) + 4(beide richtig))
Bob hat nicht gelernt und ist bei allen Fragen völlig ratlos.
Der Erwartungswert ist bei jeder Frage -0.5
Erste Schätzung E(Punktzahl bei 7 Fragen) = 7*(-0.5) = -3.5. Da in diesem Fall auf 0 aufgerundet wird und nicht ganz ausgeschlossen ist, dass er auch mal eine positive Punktzahl rät, ist E(Punktzahl bei 7 Fragen) doch etwas grösser als 0.
Man muss hier genauer rechnen.
Eine positive Punktzahl gibt's bei 7 Richtigen (14), 6 Richtigen (9), 5 Richtigen (4),
Null gibt's bei
4 Richtigen, 3 Richtigen, 2 Richtigen, 1 und 0 Richtigen.
E(Punktzahl) = 14 * 2^{-7} + 9* 7 *2^{-7} + 4 * (7 tief 2) *2^{-7} + 0
=14 * 2^{-7} + 63 *2^{-7} + 4 * 21 *2^{-7}
=(14 + 63 + 84) *2^{-7} = 1.2578 Punkte
Carola kann die Fragen 1 und 2 sicher beantworten und ist bei den Fragen 3 bis 7 völlig ratlos.
Erste Schätzung: E(Punktzahl) = 4 + 5*(-0.5) = 0.5 auch hier muss noch berücksichtigt werden, dass in vielen Fällen auf 0 aufgerundet wird.
Eine positive Punktzahl gibt's bei 7 Richtigen (14), 6 Richtigen (9), 5 Richtigen (4),
Null gibt's bei
4 Richtigen, 3 Richtigen, 2 Richtigen, 1 und 0 Richtigen.
Die ersten beiden sind ja immer richtig.
Damit's nicht 0 gibt können von den übrigen fünf: 5 (------>14 Punkte), 4(----->9 Punkte) oder 3 (----> 4 Punkte) richtig sein.
E(Punktzahl) = (14 + 9*5 + 4*(5 tief 2)) *2^{-5}
= (14 + 45 + 4*10)/2^5
=99/2^5 = 3.09375 Punkte
Vergleich:
Alice hätte mit Strategie I 10 Punkte.
Bob mit Strategie I 0 Punkte
Carola mit Strategie I 4 Punkte
Strategie II lohnt sich eigentlich nur für Bob
