Basiswechselmatrizen bestimmen

Question

ich habe mich gerade mit Basiswechselmatrizen beschäftigt. Dazu habe ich mir bei Wikipedia den Artikel durchgelesen. https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)

Was ich nicht ganz verstehe: da steht ja

b_j=a_1jb₁'+...

und dann

$$ T _ { B ^ { \prime } } ^ { B } = \left( \begin{array} { c c c } { a _ { 11 } } & { \dots } & { a _ { 1 j } \dots a _ { 1 n } } \\ { \dots } & { \dots } & { \dots } \\ { a _ { n 1 } } & { \dots } & { a _ { n j } \dots a _ { n n } } \end{array} \right) $$

Wo sind denn da die ganzen b hin?

Mir ist auch unklar, wozu man zwei Basen braucht, man verwendet doch nur eine oder?

Answer 1

Wo sind denn da die ganzen b hin?

Die b's brauchts in der Matrix mit der Basis B' nicht.

Die bilden dort ja die Basis, und sind so in der Matrixstruktur mitgemeint.

In einer andern Basis hat eine Matrix eventuell Diagonalform. Da lässt sie sich viel einfacher beliebig potenzieren oder vielleicht auch invertieren.

Mit einer Rücktransformation kann man das Potenzieren von nicht so einfachen Matrizen umgehen.