Fläche / Winkelgröße / Gleichung Winkelhalbierenden

Question

Zwei Geraden:    y1 = 3 x -3       y2 =  - 0,667 x + 6,67  bilden zusammen mit der x-Achse  einen Dreieck.

Berechnen Sie:  a) die Fläche innerhalb des Dreiecks aus Gerade 1, Gerade 2 und der x-Achse,

                             b) die Größe des von den Geraden eingeschlossenen Winkels  und

                             c) die Gleichung einer Winkelhalbierenden zwischen den Geraden.

Comments

Was bereitet dir an der Aufgabe Probleme?

Kannst du eine Skizze machen?

Kannst du den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen?

Kannst du den Winkel zwischen zwei geraden bestimmen?

Kannst du den Gleichung der Winkelhalbierenden bestimmen?

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Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen, Ja  und Skizze auch.

Mit Winkeln und Gleichung der Winkelhalbierenden hatte ich bis jetzt kaum was zu tun.

Weiß nur  WH1  y = x  und WH2  y=  -x     !?

 

und A =  1/2 * g * h

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 y1 = 3 x -3      
Die Steigung der Geraden = 3
Dies ist der Tangens des Steigungswinkels:

tan ( α ) = 3 : α = 71.57 °

y2 =  - 0,667 x + 6,67

Die Steigung der Geraden = - 2/3 ( fallend )
Dies ist der Tangens des Steigungswinkels:
tan ( α ) = - 2/3 : α = -33.69 °
( Dies ist der Winkel zwischen Waagerechter
im Schnittpunkt  nach unten ).

Fall du schon eine Skizze gezeichnet hast kannst
du die Winkel sicherlich einzeichnen und dann
den Schnittwinkel zwischen Gerade1 und Gerade2 ausrechnen.

Falls du noch keine Skizze gezeichnest hast stelle ich gern
eine Skizze hier ein. Auch mit den weiteren Ergebnissen.

mfg Georg

 

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@georgborn

Bei der Aufgabe b) Berechnen Sie die Größe des von den eingeschlossenen Winkels.

Mit der Formel  tan(α ) =(m1) - (m2)  /1 + m1 * m2  = 74,74° 

Deine Rechnung verstehe ich teilweise auch, die Steigung wird bestimmt, Ableitung 1, und dann der Steigungswinkel.  Wie komme ich jetzt aber auf die 74,74°  ? Und wäre nett wenn du die Skizze reinstellst damit ich es vergleiche.

 y1 = 3 x -3       

Die Steigung der Geraden = 3 
Dies ist der Tangens des Steigungswinkels:

tan ( α ) = 3 : α = 71.57 ° 

y2 =  - 0,667 x + 6,67

Die Steigung der Geraden = - 2/3 ( fallend ) 
Dies ist der Tangens des Steigungswinkels: 
tan ( α ) = - 2/3 : α = -33.69 ° 

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Zur c) Berechnen Sie die Gleichung einer Winkelhalbierenden zwischen den Geraden, bräuchte ich auch kurz einen Ansatz / Formel.  Mit Vektoren kenne ich mich nicht aus!   Danke

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Hier das Bild aus deinem Link. (leider nur im Link scharf).

Sieht so weit gut aus. Allerdings ist der y-Achsenabschnitt von grün mit 7 schon nicht speziell genau.

Ich empfehle für's nächste Mal die Einheit 2 Häuschen.

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Okay. Kannst du mir vielleicht bei der b ) und c) noch helfen? Siehe Kommentar drüber @georgborn.

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Mir ist noch unklar ob die Gleichung hier 

y =  - 0,667 x + 6,67

lautet. Einige gehen hier offenbar von

y =  - 2/3 x + 20/3

aus. Ich weiß nicht ganz genau wie die darauf kommen. Wenn es wirklich 2/3 ist sollte man das auch schreiben. Ansonsten ist 0.667 = 667/1000.

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@mathecoach
Die Dezimalzahlen bei der zweiten Geradengleichung sahen
mir sehr nach gerundeten Brüchen aus.

Authentic kann ja mal angeben ob in der Aufgaben-
stellung  Brüche angegeben waren.

mfg Georg
 

 

Answer 1

Zu den Winkelhalbierenden.

 y1 = 3 x -3       y2 =  - 0,667 x + 6,67

Es wäre schlau, wenn du bereits mit Vektoren umgehen könntest.

g: Steigung 3 heisst Richtungsvektor (1 , 3)       Länge: √10

h: Steigung -2/3 heisst Richtungsvektor (3, -2)          Länge: √13

Die Richtung der Winkelhalbierenden bekommt z.B. man als Diagonale in einem Rhombus. Man muss also erst mal die beiden Richtungsvektoren auf die gleiche Länge bringen und dann addieren.

Richtungsvektor der Winkelhalbierenden:

√13 * (3,-2) + √10 * (1 ,3) = (3*√13 + √10 , - 2√13 + 3*√10 )

Steigung der 'ersten' Winkelhalbierenden:

m1 = (- 2√13 + 3*√10 ) / (3*√13 + √10 )

Die andere Winkelhalbierende im Schnittpunkt der beiden Geraden steht senkrecht zu m1. Daher

m2 = (3*√13 + √10 ) / (3*√10 - 2*√3)

Für die Gleichung der Winkelhalbierenden, musst du nun 

y = mx + q 

ansetzen m einsetzen und das q noch berechnen. 

Comments

Interessant!   Wie kommt man auf diese Längen?  Länge: √10  und    Länge: √13  ?

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Pythagoras √(1^2 + 3^2) resp. √(3^2 + 2^2). Aber wie gesagt: Das sind Vektoren.
Wenn ihr das noch nicht angefangen habt, ist der Weg von Georgborn einfacher.

Mehr zu Vektoren: https://www.matheretter.de/wiki/vektoren

Answer 2

Die erste Skizze zeigt dir die beiden Steigungswinkel.
Der Schnittwinkel ergibt sich zu 74.73 °.

Die Winkelhalbierende ist 74.73 ° / 2 = 37.36 °.

Die zweite Skizze zeigt dir die Winkelhalbierende als
gestrichelte Linie.
Der Winkel ergibt sich zu 71.06 ° ( fallend ).
Der Tangens ( 71.06 ) ist  2.915. Weil die
Winkelhalbierende fallend ist m = - 2.915
So nun zum letzten Schritt.
Der Schnittpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden.

y(s) = m * x(s) + b
4.911 = -2.915 * 2.637 + b
b = 12.6

y = -2.915 * x + 12.6
 

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Mich verwirren die  33,7 Grad,  ist das nicht Beta? Aber Beta ist unten rechts und die 33,7 Grad stehen als Winkel mit der Winkelhalbierenden und der Geraden? Hab ich das so richtig verstanden?

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Der Winkel 33.7 existiert 2 Mal.

Der Schnittpunkt der beiden Geraden wäre im Standarddreieck
Punkt C. Unten rechts Punkt B.

Parallel zur x-Achse existiert eine Waagerechte durch Punkt C.
( 1.Skizze ). Gestrichelte Linie.
Die beiden Parallelen werden von der Geraden y2 in den
Punkten B und C geschnitten.

Dadurch befindet sich der Winkel 33.7 ° auch im Punkt B.
Ich habe den Winkel mit der Standardbezeichnung in Dreiecken
als Winkel beta bezeichnet.

Nochmals : zeichne 2 Parallelen und eine Gerade die durch beide
hindurchgeht. Die Schnittwinkel sind, wie in der Skizze 1 angegeben,
dieselben.

Die Winkelsumme eines Dreieck ist 180 °.
Gamma ergibt sich zu 180 ° - 71.57 ° - 33.7 ° = 74.73 °

Durch Teilung durch 2 ergibt sich 74.73 ° / 2 = 37.36 °
als Hälfte von gamma.

Der Tiefenwinkel der Winkelhalbierenden von Punkt C nach unten
ist : 33.7 + 37.36 = 71.06 ° ( siehe Skizze 2 ).

Bei Fragen wieder melden.

Ich selbst habe noch eine Frage :

Hieß es in der Aufgabe

y =  - 0,667 x + 6,67

oder

y =  - 2/3 x + 20/3

mfg Georg

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Alles klar ich schau es mir nochmal an Danke. In der Aufgabe hieß es y =- 0.667x +6.67 weiß nicht wieso hier 2/3x aufgetaucht sind.