Wie löse ich diese Aufgabe mittels Substitution z=1/x?

Question

Wie löse ich dieses uneigentliche Integral mittels Substitution \(z=1/x\) bei \(I=∫\frac{1}{1-x^2} dx\) in den Grenzen 3 und unendlich?

 

Unknown: Hoffe ich habe es richtig verbessert.

Answer 1

Hi,

mit der Subst. kann ich nich viel anfangen, aber man darf das Integral auch einfach wissen, denke ich. Das ist nämlich der arctanh(x).

Wenn man das nicht wissen darf, so kann man mittels der Partialbruchzerlegung schnell auf

1/(1-x^2) = 1/2*1/(1+x) + 1/2*1/(1-x)

Nun noch integrieren und man erhält

[1/2*ln(1+x) - 1/2*ln(|1-x|)]₃^∞ = 0 - (1/2*ln(4) - 1/2ln(2)) = -ln(2)/2

 

Beachte dabei, dass für die obere Grenze folgendes gemacht werden kann:

1/2*ln(1+x) - 1/2*ln(|1-x|) = 1/2*(ln(1+x)-ln(|1-x<)) = 1/2*ln((1+x)/(|1-x|))

Nun b einsetzen, wobei b -> ∞ strebt und der wir haben letztlich 1/2*ln(1) = 0

 

Grüße

Comments

Danke schön, was hat es allerdings mit der Substitutionstheorie von z=1/x auf sich? Wie könnte man das anwenden?

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Wie gesagt, damit kann ich hier nichts anfangen. Ich selbst sehe hier keine sinnvolle Anwendung dieser.


Ich hoff ich habe die Fragestellung entsprechend richtig modifiziert? NIcht, dass da der Fehler liegt ;). Zuvor war es aber kaum lesbar :P.