Untervektorraum beweisen

Question

Aufgabe:

Es sei \( U=\left\{x-\left(\begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right) | \lambda \in \mathbb{R}\right\} \)

Ich soll zeigen, dass U ein Untervektorraum ist. Nur weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll.

Ich kenne die Kriterien:

1. U ungleich 0

2. U ist bzgl. + abgeschlossen

3. U ist bzgl. * abgeschlossen

4. Neutrales Element bzgl. +

Comments

Hey! Hab mal eine Frage, wie zeichnest du die Menge denn in das Koordinatensystem???

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Alle Elemente von U liegen auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung 1 / 2 .

Answer 1

Voraus:

Es ist kein Körper und kein Vektorraum angegeben. Ich gehe daher davon aus, dass der zugrunde liegende Körper der Körper R der reellen Zahlen und der zugrunde liegende Vektorraum der R ² ist. Auch sind die Verknüpfungen + und * nicht definiert, daher nehme ich an, dass diese die übliche Vektoraddition bzw. Skalarmultiplikation bezeichnen sollen.

Dann:

Das erste Kriterium lautet nicht U ≠ 0, sondern

1) U ≠ ∅

Es ist also zu zeigen, dass U nicht leer ist, sondern zumindest ein Element enthält. Nun, das ist trivial, denn für jedes beliebige λ ∈ R ergibt sich ein Element von U. Insbesondere ergibt sich für λ = 0 der Nullvektor des R ².

2) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition:

Zu zeigen: Mit u, v ∈ U ist auch ( u + v ) ∈ U 

Beweis:

Es sei u = λ ( 2 | 1 ) und v = μ ( 2 | 1 ) mit λ, μ ∈ R,

dann ist:

u + v = λ * ( 2 | 1 ) + μ * ( 2 | 1 ) = ( λ + μ ) * ( 2 | 1 ) ∈ U

da mit λ, μ ∈ R ist auch ( λ + μ ) ∈ R

3) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation:

Zu zeigen: Mit u ∈ U und μ ∈ R ist auch ( μ * u ) ∈ U

Beweis:

Es sei u = λ ( 2 | 1 ), λ ∈ R, sowie μ ∈ R,

dann ist:

μ u = μ * λ * ( 2 | 1 )= ( μ * λ ) * ( 2 | 1 ) ∈ U

da mit λ, μ ∈ R ist auch ( λ * μ ) ∈ R

Also ist U ein Untervektorraum des R ²