Integration von xe^{x^2}

Question

ich habe folgende Funktion gegeben, die ich integrieren soll. Leider komme ich immer nur auf die Hälfte vom richtigen Ergebnis, deshalb die Frage: Wo ist mein Fehler?

∫ x * e^{x^2}  dx

Mit Hilfe der Substitution mache ich dann folgendes:

u = e^{x^2}   -> 1 / (2xe^{x^2} du = dx

∫ x * u * 1 / (2xe^{x^2} du  -> dort kann ich das x kürzen, so dass folgender Term übrig bleibt:

∫ u *1 / (2e^{x^2} du   -> das 1 / (2e^{x^2} ist konstant, deshalb kann ich es vor das Integral ziehen ->

1/ (2e^{x^2} * ∫ u du  -> jetzt kann ich integrieren

 1/ (2e^{x^2} * 1/2 u^2   -> jetzt die Resubstitution

1/ (2e^{x^2} * 1/2 (e^{x^2})^2
Das ganze soll ich jetzt im Intervall [0,1] ausrechnen, deshalb setze ich 1 und 0 für x ein und komme auf folgendes Endergebnis: 0,4296

Mein Taschenrechner sagt allerdings, dass folgendes Ergebnis richtig ist: 0,8591, also genau das Doppelte!?

Habe ich falsch gekürzt, oder irgendwo einen Zahlendreher?

Ist eventuell die Substitution die falsche Methode für diese Aufgabe?

Danke für die Hilfe!

Comments

Meine Wahl wäre u = x^2.

Dann hast du die innere Ableitung als Faktor praktisch weg.

Answer 1

Hi,

Du kannst doch nicht einfach sagen:

∫ u *1 / (2e^{x^2} du   -> das 1 / (2e^{x^2} ist konstant, deshalb kann ich es vor das Integral ziehen ->

 

Ja richtig, e^{x^2} ist konstant, aber nur weil Du nicht sauber substituiert hast.

Beachte, dass bei einer Substitution alle vormaligen Variablen ersetzt werden müssen! Darf also nur noch eine Variablen"art" dastehen!

 

Tipp: u = x^2

 

Grüße

Answer 2

Hi,

$$ \int_0^1xe^{x^2}dx=\int_1^exu\frac{1}{u2x}du=\int_1^e\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}(e-1)=0.8591 $$ wenn man die Substitution $$ u=e^{x^2} $$ anwendet. Es gilt $$ dx=\frac{1}{e^{x^2}2x}du=\frac{1}{u2x} $$ Dann muss man noch die Grenzen transformieren. Wenn x=0 ist, wird u(0)=1 und wennn x=1 ist, wird u(1)=e

Answer 3

Subst u = x^2

du / dx = 2x       |*dx, *1/(2x)

1/2x du = dx

∫ x e^{x^2} dx = ∫ x e^{u} 1/(2x) du       |x kürzen

= 1/2 ∫ e^{u} du

= 1/2 e^{u} + C |          u = x^2

= 1/2 e^{x^2} + C