Wahrscheinlichkeit, Schwarzfahrer

Question

In einer Großstadt sind 7% der Fahrgäste in den Bussen Schwarzfahrer. Eine einzelne Busfahrt kostet 24€.Wird ein Schwarzfahrer kontrolliert, so muss er den Fahrpreis und 500€ Strafe bezahlen. Wieviel % der Fahrgäste müssen mind. kontrolliert werden, damit ein Schwarzfahrer im Bus auf Dauer kein Geld spart?

Answer 1

Meine Idee:

Damit man auf Dauer nichts spart, muss die bedingte Wahrscheinlichkeit kontrolliert zu werden, wenn man Schwarzfahrer ist, multipliziert mit der dann zu zahlenden Summe größer oder gleich der gesparten Summe sein.

Sei also A das Ereignis "Man wird kontrolliert" und B das Ereignis "Man ist Schwarzfahrer", dann muss gelten:

P ( A | B ) * 524 = P ("Man wird kontrolliert" | "Man ist Schwarzfahrer" ) * 524 ≥ 24

Es gilt:

P( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B )

Unter der Annahme, dass die Ereignisse A und B stochastisch voneinander unabhängig sind, gilt:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) * P ( B )

und damit dann:

P( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B ) = P ( A ) * P ( B ) / P ( B ) = P ( A )

Somit gilt (blaue Ungleichung):

P ( A | B ) * 524 = P ( A ) * 524 = P ("Man wird kontrolliert") * 524 ≥ 24

<=> P ("Man wird kontrolliert") ≥ 24 / 524 ≈ 4,58 %

Die Wahrscheinlichkeit, kontrolliert zu werden muss also mindestens etwa 4,58 % sein und das ist der Fall, wenn mindestestens etwa 4,58 % der Fahrgäste kontrolliert werden.

Answer 2

24 = p * 500

p = 24/500 = 0.048 = 4.8%

Ich glaube 4.8% der Fahrgäste müssten kontrolliert werden.

Das müsste man jetzt eventuell nochmal prüfen, weil ich mir auch gerade nicht sicher bin.

Comments

Ich weiß nicht, ob das so einfach geht.

Auf alle Fälle sollte man die Bedingung (ab wann er Geld spart) ernst nehmen und das ist genau dann der Fall, wenn er 22* mal gefahren ist und nicht erwischt worden ist.

*) Strafzahlung = (500 + 24) = 524 Euro -> 524/24 = 21,83 ~ 22

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sorry habe mich verlesen, er soll kein Geld sparen

Dann muss man ihn spätestens bei der 21. Fahrt erwischen