Steckbriefaufgabe: 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten? Kann man das nicht mit dem Taschenrechner rechnen?

Question

Hat diese Aufgabe 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten? Wenn ja dann kann man das nicht mit dem Taschenrechner rechnen?

1. Aufgabe:

Eine Parabel 3. Ordnung hat in P (1|4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q (0|2) ihren Wendepunkt.

2. Allgemeiner Ansatz:

\( f(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \)

3. Ableitungen

\( f^{\prime}(x)=3 a_{3} x^{2}+2 a_{2} x+a_{1} \)

\( f^{\prime \prime}(x)=6 a_{3} x+2 a_{2} \)

4. Bedingungen:

a) \( P(1 | 4) \quad \Rightarrow f(1)=4 \quad \Rightarrow f(1)=a_{3} \cdot 1+a_{2} \cdot 1+a_{1} \cdot 1+a_{0}=4 \)

b) \( x \) -Achse \( \quad \Rightarrow f^{\prime}(1)=0 \quad \Rightarrow f^{\prime}(1)=3 a_{3} \cdot 1+2 a_{2}\cdot 1+a_{1}=0 \)

c) \( \mathrm{P}(0 | 2) \quad \Rightarrow f(0)=2 \quad \Rightarrow \quad f(0)=a_{3} \cdot 0^{3}+a_{2} \cdot 0^{2} \cdot a_{1} \cdot 0+a_{0}=2 \quad \Rightarrow \quad a_{0}=2 \)

d) WP bei \( x=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=6 a_{3} \cdot 0+2 \cdot a_{2}=0 \quad \Rightarrow \quad {a_{2}=0} \)

5. Gleichungssystem

I\( \quad a_{3}+a_{1}=2 \)
II \( \quad 3 a_{3}+a_{1}=0 \)
\( a_{3}=-1 \quad a_{1}=3 \)

Comments

Man kann Gleichungssysteme mit 4 Unbekannten mit 'besseren' Taschenrechnern lösen.

Aber dieser System wird ja so einfach, dass sich das Eingeben in der Taschenrechner nicht lohnt.

Answer 1

Diese Aufgabe gibt nur ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

Die anderen Unbekannten ergeben sich ja schon direkt beim Aufstellen der Gleichungen.

Steckbriefaufgabe

Eine Parabel 3. Ordnung hat in P(1|4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q(0|2) ihren Wendepunkt. Bestimme die Funktionsgleichung.

Ansatz

\( f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d \\ f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c \\ f''(x) = 6·a·x + 2·b \)

Bedingungen:

\( f(0)=2 \\ d=2 \)

\( f'(0)=0 \\ 2b=0 \\ b=0 \)

\( f(1)=4 \\ a+b+c+d=4 \\ a+c+2=4 \\ a+c=2 \)

\( f(1)=0 \\ 3 \cdot a+2 b+c=0 \\ 3 \cdot a+c=0 \)

Lineares Gleichungssystem

\( a+c=2 \\ 3·a+c=0 \)

II - I

\( 2 \cdot a = -2 \\ a = -1 \)

\( -1+c=2 \\ c=3 \)

Wir erhalten die Lösung: \( a =-1 ; b=0 ; c=3 ; d=2 \)

\( f(x) = -x^3 + 3x + 2 \)

Answer 2

Eine Parabel 3. Ordnung hat in P \((1|4)\) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q \((0|2)\) ihren Wendepunkt.

in P \((1|4)\) eine Tangente parallel zur x-Achse: Da ist ein Extremum:

P \((1|4)\) ↓ P´ \((1|0)\)  doppelte Nullstelle

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2]\)

\(f''(x)=a[2(x-N)+(2x-2)+(2x-2)]\)

an der Stelle \(x=0\) ihren Wendepunkt:

\(f''(0)=a[2(0-N)+(-2)+(-2)]=a[-2N-4]\)

\(a[-2N-4]=0\)

\(N=-2\):

\(f(x)=a[(x-1)^2(x+2)]\)

Q \((0|2)\) ↓ Q' \((0|-2)\)

\(f(0)=a[(0-1)^2(0+2)]=2a\)

\(2a=-2\)

\(a=-1\):

\(f(x)=(x-1)^2(x+2)\)  ↑

\(p(x)=-(x-1)^2(x+2)+4\)