Eigenwert Lamda einer 3x3 Matrix

Question

Gesucht ist der größte Eigenwert λ der Matrix A =

1	6	4
0	1	2
0	4	3

Würde es so rechnen: det(A-λE)=0

Komme aber leider nicht auf eine gerade Zahl! Bitte antwortet mir!

Comments

Du meinst bestimmt: det(A-λE)=0.

Man muss doch nur die Elemente der Diagonalen minus Lambda rechnen. Oder?

Ein Eigenwert ist auf jeden Fall 1. Da der Spaltenvektor (1,0,0) auf (1,0,0) abgebildet wird. (Erste Spalte der Matrix).

D.h. Du solltest dein Polynom durch (λ -1) dividieren können und dann auf eine quadratische Gleichung kommen.

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ja das meinte ich ^^

ja dann wäre die diagonale minus lamda. das mit dem dividieren verstehe ich aber nicht!

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bei mir steht dann:

(1-λ)*((1-λ)*(3-λ)-4*2)  = 0

Wäre wirklich nett wenn sie mir hier auch auf die Sprünge helfen!

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Schau mal bei:

https://www.mathelounge.de/7977/wie-funktionieren-polynomdivisionen

oder andern Beispielen (Suche: Polynomdivision)

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Also können Sie mir auch net weiterhelfen?!

Es geht ja nur um den letzten Schritt, den ich net hinbekomme. Mit Polynomen hat das nix zutun!

Answer 1

Ich nehme mal statt Lambda das k

[1, 6, 4]
[0, 1, 2]
[0, 4, 3]

Ich subtrahiere die k*Einheitsmatrix

[1-k, 6, 4]
[0, 1-k, 2]
[0, 4, 3-k]

Ich bilde jetzt die Determinante

(1-k)*(1-k)*(3-k) + 6*2*0 + 4*0*4 - 0*(1-k)*4 - 4*2*(1-k) - (3-k)*0*6 = 0
(1-k)*(1-k)*(3-k) - 4*2*(1-k) = 0
(1-k)*((1-k)*(3-k) - 4*2) = 0
(1-k)*(3 - 4k + k^2 - 8) = 0
(1-k)*(k^2 - 4k - 5) = 0

Lösungen sind:

k₁ = 1 (direkt ablesbar wenn der erste Faktor Null wird)

k^2 - 4k - 5 = 0
k₂= -1
k₃ = 5

Der Größte Eigenwert ist hier also 5.

Comments

Wenn man schlauer gewesen wäre hätte man vorher auf der Linken Seite (1-k) ausgeklammert anstatt auszumultiplizieren. Aber egal. Funktioniert ja auch so.

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-k^3 + 5k^2 + k - 5 = 0

Bis hier hab ich es verstanden. Was hat es mit der Wertetabelle auf sich? Und ist es Zufall das Die Werte die Zahl vor Lamda ist?

 

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Ganz so zufällig ist das nicht. Aber das liegt hei hauptsächlich daran, dass wir als zwei Faktoren im Betrag eins haben.

-k^3 + 5k^2 + k - 5 = 0

ist eine kubische Gleichung. Schulmathematisch werden solche Gleichungen gelöst indem man sich ganzzahlige Lösungen sucht und dann Polynomdivision dadurch durchführt. 

Wenn wir uns eine Wertetabelle im Bereich von -10 bis +10 erstellen finden wir aber alle ganzzahligen Lösungen. Damit entfällt die Polynomdivision.

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Ich habe mal die Lösung etwas angepasst, indem ich nicht so voreilig ausmultipliziert habe und lieber einen gemeinsamen Faktor ausgeklammert habe.

Damit entfällt das suchen der Lösungen über Wertetabelle.

Answer 2

annahme der Ansatz von Lu  stimmt soweit, dann ist

x₁=-1

 

und (1-λ)*(3-λ)-8=0           x=λ

       3-x-3x+x²-8=0

       x²-4x-5=0

       x_2,3=2±√9          x=-5 x=1

L={-1,1,-5}

leider bin ich mir mit der schreibweise nicht so sicher das Lösungspolynom müsste dann korrekt heissen

x³-5x²-x+5

Answer 3

(1-λ)*((1-λ)*(3-λ)-4*2)  = 0

hier musst du ja gar nichts mehr dividieren. eine Nullstelle ist ja 1.

Für die andern beiden musst du

((1-λ)*(3-λ)-4*2) = 0 auflösen. Ich schreibe x statt Lambda

3 - x - 3x + x^2 - 8 = 0

x^2 - 4x - 5 = 0

x_1,2 = 0.5(4 ±√(16 + 25)) = 0.5(4±√36) = 2 ± 3  

x₁= -1 und x₂ = 5

Der grösste Eigenwert ist dann Lambda =5

 

Comments

Dann is was falsch gelaufen! Es kommt aufjedenfall eine gerade Zahl raus! Hab hier Lösungsvorschläge^^

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Akelei hat meinen Rechenfehler gefunden. Schau schon mal dort! Ich korrigiere noch.