Grenzwert von n*((n-te wurzel von x)-1)

Question

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, wäre super, wenn ihr mir helfen könntet:

Berechne den Grenzwert von

n· ((n-te√x)-1)    für n->∞

 

Answer 1

Hi,
man hier L'Hospital anwenden. \( n*(x^{\frac{1}{n}}-1) \) kann man schreiben als \( \frac{e^{\frac{1}{n}ln(x)}-1}{\frac{1}{n}} \) Jetzt gehen Zähler und Nenner gegen 0 für n gegen unendlich. damit kann man L'Hospital anwenden. Die Ableitung des Zählers nach n gibt \( e^{\frac{1}{n}ln(x)} (-\frac{1}{n^2})ln(x) \) und die Ableitung des Nenners ergibt \( -\frac{1}{n^2} \) Die Division der ersten Ableitungen von Zähler und Nenner ergibt \( e^{\frac{1}{n}ln(x)}ln(x) \) und das geht gegen ln(x) für n gegen unendlich.

Comments

Vielen vielen Dank :)

heißt es der Grenzwert ist ln(x) ?

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Hi,

ja, den x bleibt ja bei der Betrachtung fest, nur n ist variable und geht gegen unendlich.