komplizierte Logarithmus Gleichung mit Basiswechsel

Question

Hey ihr Lieben,

ich komm bei dieser Aufgabe leider absolut nicht weiter: log_3x(3/x)+(log₃x)²=1

ich weiß bei dem ersten Teil der Gleichung muss man einen Basiswechsel durchführen, aber dann komm ich leider einfach nicht weiter.

Vielen dank schonmal

Answer 1

log_3x(3/x)+(log₃x)²=1

Basiswechsel für den ersten Term, damit eine neue Basis = 3 entsteht

allgemein: log_a(b) = log_c(b)/log_c(a); a = 3x und b = 3/x -> log_3x(3/x) = log₃(3/x)/log₃(3x)

log₃(3/x)/log₃(3x) + (log₃x)² =1     | *log₃(3x)

log₃(3/x) + (log₃x)² **log₃(3x) =  1*log₃(3x)

log₃(3) - log₃(x) + (log₃x)² *log₃(3x) =  log₃(3x)

1- log₃(x) + (log₃x)² *log₃(3x) =  log₃(3x)

1- log₃(x) + (log₃x)² *log₃(3x) - log₃(3x) = 0

1- log₃(x) + log₃(3x)*[(log₃x)² - 1] = 0

Substitution 3x=z

1- log₃(z/3) + log₃(z)*[(log₃(z/3))² - 1] = 0

1- log₃(z) + log₃(3) + log₃(z)*[(log₃(z) - log₃(3))² - 1] = 0

2- log₃(z) + log₃(z)*[(log₃(z) - 1)² - 1] = 0

Substitution y=log₃(z)

2- y + y*[(y - 1)² - 1] = 0

2- y + y*[y²-2y + 1 - 1] = 0

2- y + y³-2y²  = 0

(2- y) - y²*(2-y)  = 0

(2- y)(1 - y²)  = 0 -> (2- y) = 0 oder (1 - y²) =0 -> y₁ = 2 oder y_2/3 = ±1

Es war log₃(z) = y -> 2=log₃(z₁) -> z₁ = 3²  Analog z₂ = 3 und z₃ = 1/3

Es war auch 3x=z -> x₁ = 3, x₂ = 1 und x₃ = 1/9