Koordinaten von Basen-Vektoren bestimmen bzw umrechnen bzw im Koordinatensystem darstellen

Question

Ich habe ein paar Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:

gegeben sind die Basen F und G

F: (3i,1)^T , (-2i, 1)^T       G: (1-i, 1)^T , (1+i, 1)^T  von ℂ²

Dazu die Vektoren a und b bezüglich Basis G:

_Ga=(3i,1)   _Gb=(2,-2i)

Nun soll ich die Koordinaten von a und b bezüglich der Standardbasis S sowie der Basis F angeben.

Meine Überlegung, wie ich nun die Koordinaten von _Ga sind: _Ga mit den Basen-Vektoren multiplizieren:

      

$$ 3i*(\begin{matrix} 1-i \\ 1 \end{matrix})+1*(\begin{matrix} 1+i \\ 1 \end{matrix})\quad =\begin{matrix} 3i+3+1+i \\ 3i+1 \end{matrix}=\quad \begin{matrix} 4i+4 \\ 3i+1 \end{matrix} $$

Um auf meine Koordinaten bezüglich des Ursprungs zu kommen zeichne ich erst 4i+4 ein und gehe von dem Punkt 3i+1 weiter. Somit komme ich auf die Koordinaten:

(7i, 5)

 

Bevor ich jetzt mein weiteres "Vorgehen" schildere, würde ich erstmal gerne wissen, ob das, was ich gemacht habe, so richtig ist, denn ich hab hier schon so ein paar Ansätze probiert, kann mir aber schlussendlich bei keinem sicher sein, ob es stimmt.

 

mfg Michael

Comments

Umgewandelt mit https://www.matheretter.de/rechner/latex steht da:

$$ 3i*(\begin{matrix} 1-i \\ 1 \end{matrix})+1*(\begin{matrix} 1+i \\ 1 \end{matrix})\quad =\begin{matrix} 3i+3+1+i \\ 3i+1 \end{matrix}=\quad \begin{matrix} 4i+4 \\ 3i+1 \end{matrix} $$

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Wie sieht denn bei euch die Standardbasis von C^2 aus?

(1,0) und (0,1) ?

Dann hättest du doch jetzt (4+4i)(1,0) + (3i +1)(0,1)

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ja das denke ich mir auch^^

Stimmen die Koordinaten also?

oder müsste ich das so angeben?:

$$ 7i*\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}+5*\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} $$

 

Weil die erste Zeile gibt ja den Realteil an und die zweite den Imaginärteil.

Also würde der Vektor a bezüglich der Standardbasis dann so aussehen:

_Sa=(7i,5) oder so: _Sa= $$ \begin{matrix} 4i+4 \\ 3i+1 \end{matrix} $$ ?

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Dann hättest du doch jetzt (4+4i)(1,0) + (3i +1)(0,1)

Nein die Koordinaten sind nun

a=4+4i und b=3i+1

sonst ist nicht festgelegt, was die erste und zweite Komponente des resultierenden Vektors ist.

Bedenke, dass die Koordinaten Zahlen aus C sein können / müssen.

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die a Koordinate entspricht dem Realteil bzw. x. Achse.

Obwohl das die Koordinate für den Realteil ist, kann trotzdem 4i vom Imaginärteil dabei sein?

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Das ist ja bei den andern Basen offenbar auch so.

_Ga=(3i,1)   _Gb=(2,-2i)

die a Koordinate entspricht dem Realteil bzw. x. Achse.

Obwohl das die Koordinate für den Realteil ist, kann trotzdem 4i vom Imaginärteil dabei sein?

Die Richtung von a ist die x-Richtung, die aber in C^2 selbst schon auf eine Art 2-dim. ist.