Konvergenz und Grenzwert bestimmen

Question

Meine Aufgabe ist:

Zeigen Sie, dass durch:

x₀  := 1 und x_n+y := (1+x_n) / (2+x_n) für alle n∈ℕ eine Folge (x_n)_n∈ℕ positiver Zahlen gegeben wird. Beweisen Sie, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Hinweis: Je nach Lösung, kann es notwendig sein zu zeigen, dass x_n²+x_n-1 ≥ 0 für alle n ∈ ℕ ist.

Wie löst man das?

Answer 1

Zeige, dass die Folge monoton fallend und beschränkt ist. Damit exist. der Grenzwert x der die Gleichung $$\frac{1+x}{2+x}=x$$ erfüllen muss.

Comments

und wie mach ich das genau (blackout)

sorry

Answer 2

(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(x_n>0\) für alle \(n\geq0\) gilt.
(2) Zeige per Induktion über \(n\), dass \(x_n^2+x_n-1>0\) für alle \(n\geq0\) ist.
Die Aussge gilt offensichtlich für \(n=0\). Zu zeigen ist, dass die Aussage für \(n+1\) gilt, falls sie für ein \(n\geq0\) gilt (Induktionsvoraussetzung).$$x_{n+1}^2+x_{n+1}-1\overset{\small\color{blue}{\text{Def}}}=\left(\frac{1+x_n}{2+x_n}\right)^2+\frac{1+x_n}{2+x_n}-1=\frac{x_n^2+x_n-1}{(2+x_n)^2}\overset{\small\color{blue}{\text{IV}}}>0.$$(3) Zeige, dass die Folge streng monoton fällt. Nach (1) und (2) ist$$x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{1+x_n}{2+x_n}=\frac{x_n^2+x_n-1}{2+x_n}>0\Leftrightarrow \boxed{x_n>x_{n+1}}.$$(4) Nach (1) und (3) ist die Folge nach unten beschränkt und streng monoton fallend also konvergent. Der Grenzwert \(c\geq0\) der Folge berechnet sich aus$$c=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x_n}{2+x_n}\Rightarrow c=\frac{1+c}{2+c}\Rightarrow\boxed{ c=\frac12(\sqrt{5}-1)}.$$

Comments

Der Induktionsbeweis für 1. Wie mach ich den jetzt richtiger Maßen?

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und Nummer 2?

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Zu (1) \(\,x_0>0\) gilt nach Voraussetzung. Wenn \(x_n>0\) ist, dann ist auch \(1+x_n>0\) und \(2+x_n>0\), also gilt auch \(x_{n+1}=\dfrac{1+x_n}
{2+x_n}>0.\)
Zu (2) \(\,\)Der Induktionsschritt steht dort.

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wie hast du das größer zeichen mit dem IV obendrauf gemacht?

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\overset{\small\color{blue}{\text{IV}}}>0