Konvergenz zeigen bei Reihen

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \) konvergiert.

(b) Zeigen Sie, dass die Reihen \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{d}} \) für \( d>2 \) konvergieren.

Comments

Als Starthilfe

a) Abschätzung über \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)} \)

Stichwort: Teleskopsumme

https://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

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Im Endeffekt seid ihr doch schon durch. Die Idee von Unknown beweist die a) und die Reihe aus a) ist eine Majorante für die aus b).

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Stimmt, hatte vorher auch den Gedanken, nur falschrum gedacht und wieder verworfen :P.

Wenn Du a) gezeigt hast und diese dann als Majorante bestimmst für b) bist Du eigentlich fertig ;).

Answer 1

Hi,

Zur a). Eigentlich schon alles gesagt:

Schreibe das als Teleskopsumme:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$$

$$= 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1} - \frac1n$$

$$= 1+1-\lim_{k\to\infty}\frac1k < 2$$

Das konvergiert also und kann als Majorante in b) genutzt werden. Damit konvergiert auch alles mit d > 2.

Grüße