Aufgabe:
Gegeben ist die folgende Matrix:
$$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrr} {1} & {-2} & {-2} & {0} \\ {3} & {0} & {-2} & {1} \\ {-3} & {-1} & {2} & {0} \\ {2} & {7} & {1} & {3 / 2} \end{array}\right) $$
(a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix \( \mathbf{A}, \) indem Sie die Laplace-Entwicklung einmal nach der vierten Zeile und einmal nach der vierten Spalte durchführen. Welche Berechnungsvariante erscheint Ihnen effizienter?
(b) Geben Sie (ohne die komplette Rechnung nochmals durchzuführen) an, wie sich der Wert der Determinante verändert, wenn Sie die dritte Zeile mit 5 und anschließend die zweite Spalte mit 2 multiplizieren. Begründen Sie Ihre Aussage ausgehend von der Laplace-Entwicklung.
(c) Geben Sie eine Matrix an, deren Determinante den gleichen Wert wie die Determinante in Aufgabenteil (b) hat, und die sich jedoch von der Matrix A lediglich in den Werten der ersten Zeile unterscheidet.
Wie geht man generell vor? Im Internet habe ich Formeln gefunden, ich weiß aber nicht, ob man die Formeln für diese Aufgabe nutzen kann:
\( |A|=\sum \limits_{j=1}^{3} a_{1 j} \cdot(-1)^{1+j} \cdot D_{1 j} \)
\( |A|=a_{11} \cdot(-1)^{1+1} \cdot D_{11}+a_{12} \cdot(-1)^{1+2} \cdot D_{12}+a_{13} \cdot(-1)^{1+3} \cdot D_{13} \)
\( |A|=\left|\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right| \quad \rightarrow \quad|A|=\left|\begin{array}{ccc}{+} & {-} & {+} \\ {-} & {+} & {-} \\ {+} & {-} & {+}\end{array}\right| \)
