Bestimme die reellen Lösungen von sqr(2x+1) - sqr(x-3) = 2

Question

√(2x+1) - √(x-3) = 2

Die Lösung kenne ich L = {4,12}, ich weiß aber nicht, wie ich es ausrechne.

Answer 1

Das funktioniert wie die Wurzelgleichung bei:

https://www.mathelounge.de/10504/wurzelgleichung-wurzel-x-3-wurzel-2x-3-6

Ich nehme an, dass du den Lösungsweg auf deine Aufgabe übertragen kannst.

Man muss 2 mal quadrieren und daran denken, dass beim Quadrieren von Summen und Differenzen immer noch eine bimomische Formel benutzt werden muss.

Answer 2

√(2x+1) - √(x-3) = 2                         | + √(x-3)

√(2x+1) = 2 + √(x-3)                        |²

2x+1 = 4 + 2(2√(x-3)) + x - 3          | - 2x - 1

0 = 4 + 2(2√(x-3)) + x - 3 - 2x - 1   | Zusammenfassen

0 = - x + (4√(x-3))                            | - (4√(x-3))

- (4√(x-3)) = - x                                 | * (-1)

(4√(x-3)) = x                                      |²

16(x-3) = x²                                       | Ausmultiplizieren

16x-48 = x²                                       | - 16x + 48

x² - 16x + 48 = 0                              | pq-Formel anwenden

 

x1,2 = 16/2 ± √((16²/4) - 48)

x1,2 = 8 ± √(64 - 48)

x1,2 = 8 ± √16

x1,2 = 8 ± 4

L = {4;12}