Folge monoton, konvergent und Grenzwert

Question

Es seien a,b∈ℝ mit a>=0 und b>=2 gegeben. Die Folge (x_n)_n∈ℕ sei definiert durch

x₀=0, x_n+1=x_n+a/b

1. Man zeige : Ist 0<=x_n<=a, so ist auch 0<=x_n+1<=a

2. Man zeige: Die Folge ist monoton

3. Ist die Folge konvergent? Man berechne ggf. den Grenzwert

Comments

Eine Möglichkeit wäre, diese rekursiv definierte Folge in eine explizit definierte Folge umzuwandeln, die nur von n abhängt und nicht von vorherigen Folgengliedern. Dann ist es nicht mehr schwer, die Fragen zur Monotonie und Konvergenz zu beantworten. Allerdings muss man mittels vollständiger Induktion zeigen, dass die explizite und rekursive Folge gleich sind.

Answer 1

Hi,

die Folge \( x_{n+1}=x_n+\frac{a}{b} \) mit \( a \gt 0 \) und \( b\gt 2 \) und \( x_0=0 \) ist nicht konvergent. Es ist \( x_1=\frac{a}{b} \), \( x_2=2\frac{a}{b} \) usw. Also \( x_n=n\frac{a}{b} \) Damit wächst \( x_n \) über alle Grenzen wenn \( a \gt 0 \) ist. Ist \( a=0 \) ist die Folge eine Folge wo jedes Folgenglied 0 ist. Die ist konvergent gegen 0. Aber das war sicherlich nicht der Sinn der Aufgabe, oder?