Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der das Flugzeug fliegt (Vektorrechnung)

Question

Aufgabe - Geometrie im Kontext:

In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt die \( x_{1}-x_{2} \)-Ebene eine Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die \( x_{1} \)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \( \mathrm{x}_{2} \)-Achse in Richtung Norden, die Längeneinheit ist \( 1 \mathrm{~km} \). Ein Flugzeug \( \overline{\mathrm{F}_{1}} \) steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt \( \mathrm{P}(-10 / 0 / 0) \) längs der

\( \text { Geraden } g_{1}: \bar{X}=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right) \text { mit } 0 \leq t_{1} \leq 20 \text { auf. } \)
Flugzeug \( \mathrm{F}_{2} \) fliegt entlang der Geraden \( \mathrm{g}_{2}: \overline{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}40 \\ 50 \\ 10\end{array}\right)+\mathrm{t}_{2} \cdot\left(\begin{array}{c}10 \\ -10 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \mathrm{t}_{1} \) und \( \mathrm{t}_{2} \) geben jeweils die Anzahl der Minuten an, die seit dem Start von \( \mathrm{F} \) vergangen sind.

3.1 Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der \( \mathrm{F}_{1} \) fliegt. Begründen Sie, dass \( \mathrm{F}_{2} \) eine konstante Flughöhe hält. Welche? Welche physikalische Gröbe wird jeweils durch den Richtungsvektor beschrieben?

3.2 Weisen Sie nach, dass sich die beiden Flugbahnen von \( \mathrm{F}_{1} \) und \( \mathrm{F}_{2} \) schneiden. Warum kommt es in diesem Fall dennoch nieht zur Kollision der beiden Flugzeuge?

Answer 1

Der Richtungs Vektor von F1 ist [5, 5, 1]

Damit fliegt F1 in einer Minute 5 km Richtung Osten, 5 km Richtung Norden und 1 km nach oben. F1 fliegt also nach Nord-Ost.

Der Richtungsvektor von F2 lautet [10, -10, 0]. Da die x3-Komponente 0 ist ändert F2 seine Flughöhe nicht.

Der Richtungsvektor beschreibt die Geschwindigkeit des Flugzeuges in Richtung der Achsen. in km/min.

[-10, 0, 0] + r * [5, 5, 1] = [40, 50, 10] + s * [10, -10, 0]

Kontroll-Lösung: r = 10 ∧ s = 0

Nach 10 Minuten erreicht F1 den Punkt an dem F2 gestartet ist. F2 ist allerdings dann schon 10 Minuten weitergeflogen.

Die Flugzeuge haben zwar auf ihren Flugbahnen ein Punkt gemeinsam, durchfliegen ihn aber zu unterschiedlichen Zeiten.

Man stelle sich vor nur weil zwei Straßen sich kreuzen wurden automatisch alle Autos die auf diesen Straßen fahren kollidieren. Das geht natürlich nicht. Bei einer Kollision mussen zwei Fahrzeuge zur gleichen Zeit denselben Punkt passieren und nicht zu unterschiedlichen Zeiten.