Question

Welche der folgenden Teilmengen von ℝ⁴ sind Untervektorräume des ℝ⁴?

$$ 1.\left\{ \left( 1,0,0,0 \right) \left( 0,1,0,0 \right) \left( 1,1,0,0 \right) \left( 0,0,0,0 \right)  \right\}  $$

$$ 2.\left\{ \left( { x }_{ 1 }{ ,x }_{ 2 }{ ,x }_{ 3 }{ ,x }_{ 4 } \right) |\sum _{ i=1 }^{ 4 }{ { x }_{ i } } =1 \right\}   $$

$$ 3.\left\{ \left( { x }_{ 1 }{ ,x }_{ 2 }{ ,x }_{ 3 }{ ,x }_{ 4 } \right) |\sum _{ i=1 }^{ 4 }{ { x }_{ i } } =0 \right\}  $$

$$ 4.Ist\quad folgende\quad Menge\quad ein\quad Untervektorraum\quad des\quad ℤ/2ℤ-Vektorraums(ℤ/2ℤ{ ) }^{ 4 }?\\ \left\{ ([1],[0],[0],[0]),\quad ([0],[1],[0],[0]),\quad ([1],[1],[0],[0]),\quad ([0],[0],[0],[0]) \right\}  $$

 

Vor allem bei der 4. weiß ich gar nicht weiter.

Comments

1. und 2. stimmen nicht.

Begründung 1.
(1,1,0,0) + (1,0,0,0) = (2,1,0,0) ist nicht in der Menge.

Begründung für 2.

(1,0,0,0) + (0,1,0,0) = (1,1,0,0) ist nicht in der Menge.

3. und 4. könnten ok sein.

Ich sehe keine Möglichkeit mit Linearkombinationen aus den gegeben Mengen rauszukommen.

Vielleicht kannst du das indirekt zeigen.

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Vielen vielen Dank. Ich werde es versuchen ;).

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Ich hoffe, das hat inzwischen geklappt.

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Könnte man die 4) auch ohne Rechnung zeigen, indem man sagt, da die 1) ja kein Untervektorraum von ℝ⁴ ist kann die 4) auch keines in (ℤ/2ℤ)⁴ sein.

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Nein. Modulo 2 ist ja die Begründung von 1. falsch bei 4.

(Ergänze die Eckigen Klammern)

(1,1,0,0) + (1,0,0,0) = (2=0,1,0,0) ist  in der Menge.

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Die 4) ist ein Unteraum, also nein.

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Müsste nicht 2. richtig sein? Ich meine, dass die ergebnisse ausummiert werden; Also xi = 1-4, sodass alle Ergebnisse bzgl addition und multiplikation im Vektorraums enthalten sind.

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Ich denke auch dass 2 doch richtig sein müsste, oder?

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woher weiß man, dass bei 1. die "2" nicht in der Menge liegt? woher wissen wir, dass nur 0 und 1 in der Menge liegt?

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ie62:

$$ 1.\left\{ \left( 1,0,0,0 \right) \left( 0,1,0,0 \right) \left( 1,1,0,0 \right) \left( 0,0,0,0 \right)  \right\} $$

ist wegen der geschweiften Klammern eine abschliessende Aufzählung. (2,1,0) liegt nicht in dieser Menge. vgl. mein erster Kommentar.

2. 1+1=2 also nicht 1, wie in der Formel mit dem Summenzeichen gefordert.

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sprechen wir von der selben aufgabe? bei der 1. ist kein summenzeichen. wieso muss modulo gerechnet werden?

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ie62: Nein. Ich habe die Antwort zu 1. nochmals revidiert.

Answer 1

HIer das Fazit aus den Kommentaren:

1. und 2. stimmen nicht.

Begründung 1.
(1,1,0,0) + (1,0,0,0) = (2,1,0,0) ist nicht in der Menge.

Begründung für 2.

(1,0,0,0) + (0,1,0,0) = (1,1,0,0) ist nicht in der Menge.

3. und 4. sollten ok sein.

Ich sehe keine Möglichkeit mit Linearkombinationen aus den gegeben Mengen rauszukommen.

Vielleicht kannst du das indirekt zeigen.

4. Modulo 2 ist die Begründung von 1. falsch bei 4.

(Ergänze die eckigen Klammern)

(1,1,0,0) + (1,0,0,0) = (2=0,1,0,0) ist  in der Menge.

Answer 2

Ist V ein endlicher Unterraum von \( \mathbb R^n \) so ist V={0}. (Sonst ist V isomorph zu \( \mathbb R^d \) für d > 0, also unendlich). Damit ist 1. kein UVR.

2. Der Nullvektor ist nicht enthalten.

3. Ist der kern der linearen Abb. \( \mathbb R^n \to \mathbb R^n, \quad (x_1,x_2,x_3,x_4)   \mapsto x_1+x_2+x_3+x_4\)

4. Ist der UVR erzeugt von (1,0,0,0) und (0,1,0,0).